Борелевская сигма-алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми.

Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел.

Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Названа в честь Эмиля Бореля.

Связанные понятия[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

  • Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега, но обратное неверно.

Пример измеримого по Лебегу, но не борелевского множества[править | править исходный текст]

Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.

Рассмотрим функцию f(x) = \tfrac{1}{2}(x+c(x)) на отрезке [0;1], где c(x) — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Так же измерима обратная к ней функция. Мера образа канторова множества равна \tfrac{1}{2}, а значит, мера образа его дополнения также равна \tfrac{1}{2}. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество A. Тогда его прообраз f^{-1}(A) будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе A было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении).