Критерий знаков

В математической статистике критерий знаков используется при проверке нулевой гипотезы о равенстве медианы некоторому заданному значению (для одной выборки) или о равенстве нулю медианы разности (для двух связанных выборок). Это непараметрический критерий, то есть он не использует никаких данных о характере распределения, и может применяться в широком спектре ситуаций, однако при этом он может иметь меньшую мощность, чем более специализированные критерии.

Описание метода для двух выборок

Рассмотрим две непрерывно распределенные случайные величины X и Y, и пусть нулевая гипотеза выполняется, то есть медиана их разности равна нулю. Тогда $p=\mathbb {P} (X>Y)=0.5$. Иными словами, каждая из случайных величин равновероятно больше другой.

Рассмотрим пару связных выборок $\{(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})\}$. Будем считать, что в выборке нет элементов, для которых $x_{i}=y_{i}$ (иначе уберем эти элементы из выборки). Построим статистику w, равную числу элементов в выборке, при которых $x_{i}>y_{i}$. При выполнении нулевой гипотезы, эта величина имеет биномиальное распределение: $w\sim B(n,0.5)$.

Для применения критерия необходимо вычислить «левый хвост» биномиального распределения до w: $b=2^{-n}\sum _{i=0}^{w}C_{n}^{i}$. Согласно критерию, при уровне значимости $\alpha$:

• против двусторонней альтернативной гипотезы $p\neq 0.5$

если $b\not \in \left[\alpha /2,\,1-\alpha /2\right]$, то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы $p<0.5$

если $b<\alpha$, то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы $p>0.5$

если $b>1-\alpha$, то нулевая гипотеза отвергается;

Пример задачи

Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные до лечения. Вторая выборка — это значения той же характеристики состояния тех же пациентов, записанные после лечения.

Порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках и объёмы выборок обязаны совпадать. Такие выборки и называются связанными.

Требуется выяснить, является ли лечение эффективным, то есть имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.

Заданы две выборки одинаковой длины $x^{n}=(x_{1},\ldots ,x_{n}),\;x_{i}\in \mathbb {R} ;\;\;y^{n}=(y_{1},\ldots ,y_{n}),\;y_{i}\in \mathbb {R}$.

Дополнительные предположения:

• обе выборки простые;
• выборки связные, то есть элементы $x_{i},\,y_{i}$ соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза $H_{0}:\;\mathbb {P} \{x>y\}=1/2$.

Если в выборке имеются случаи $x_{i}=y_{i}$, то их следует исключить из выборки, уменьшив число наблюдений. Статистика критерия — это число w элементов в выборке, при которых $x_{i}>y_{i}$.

Ссылки

• Критерий знаков // MachineLearning.ru.