Биномиальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Биномиальное распределение
Функция вероятности
Probability mass function for the binomial distribution
Функция распределения
Обозначение B(n,p)\,
Параметры n \geqslant 0 — число «испытаний»
0\leqslant p \leqslant 1 — вероятность «успеха»
Носитель k \in \{0,\dots,n\}\!
Функция вероятности \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k} \!
Функция распределения I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Математическое ожидание np\!
Медиана одно из \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
Мода \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Дисперсия npq\!
Коэффициент асимметрии \frac{q-p}{\sqrt{npq}}\!
Коэффициент эксцесса \frac{1-6pq}{npq}\!
Информационная энтропия  \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)
Производящая функция моментов (q + pe^t)^n \!
Характеристическая функция (q + pe^{it})^n \!

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n\! независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p\!.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром p, то есть при каждом i=1,\ldots, n величина X_i принимает значения 1 («успех») и 0 («неудача») с вероятностями p и q=1-p соответственно. Тогда случайная величина

Y = X_1+X_2+ \ldots +X_n

имеет биномиальное распределение с параметрами n\! и p\!. Это записывается в виде:

Y \sim \mathrm{Bin}(n,p).

Случайную величину Y обычно интерпретируют как число успехов в серии из n одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k}, \ \ k=0,\ldots, n,

где

\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \, k!} — биномиальный коэффициент.

Функция распределения[править | править исходный текст]

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R},

где \lfloor y \rfloor обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции:

F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y ) = I_{1-p}(n-\lfloor y \rfloor,\lfloor y \rfloor +1).

Моменты[править | править исходный текст]

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n,

откуда

\mathbb{E}[Y] = np,
\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np ),

а дисперсия случайной величины.

\mathbb{D}[Y] = npq.

Свойства биномиального распределения[править | править исходный текст]

  • Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p) и ~Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n, 1-p). Тогда p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k).
  • Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p) и Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p). Тогда Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p).

Связь с другими распределениями[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула