Биномиальное распределение

Биномиальное распределение

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$B(n,p)\,$
Параметры	$n \geqslant 0$ — число «испытаний» $0\leqslant p \leqslant 1$ — вероятность «успеха»
Носитель	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Функция вероятности	$\binom{n}{k}\, p^k q^{n-k} \!$
Функция распределения	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Математическое ожидание	$np\!$
Медиана	одно из $\{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}$
Мода	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Дисперсия	$npq\!$
Коэффициент асимметрии	$\frac{q-p}{\sqrt{npq}}\!$
Коэффициент эксцесса	$\frac{1-6pq}{npq}\!$
Информационная энтропия	$\frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Производящая функция моментов	$(q + pe^t)^n \!$
Характеристическая функция	$(q + pe^{it})^n \!$

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $n\!$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $p\!$.

Определение

Пусть $X_1 ,\ldots, X_n$ — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.$

Построим случайную величину $Y\!$:

$Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i$.

Тогда $Y\!$, число единиц (успехов) в последовательности $X_1,\ldots, X_n$, имеет биномиальное распределение с $n\!$ степенями свободы и вероятностью «успеха» $p\!$. Пишем: $Y \sim \mathrm{Bin}(n,p)$. Её функция вероятности задаётся формулой:

$p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k},\; k=0,\ldots, n,$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \, k!}$ — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

$F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R}$,

где $\lfloor y \rfloor$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее число $y$, или в виде неполной бета-функции:

$F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y ) = I_{1-p}(n-\lfloor y \rfloor,\lfloor y \rfloor +1)$.

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n$,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = np$,

$\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np )$,

а дисперсия случайной величины.

$\mathbb{D}[Y] = npq$.

Свойства биномиального распределения

• Пусть $Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p)$ и $~Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n, 1-p)$. Тогда $p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k)$.
• Пусть $Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p)$ и $Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p)$. Тогда $Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p)$.

Связь с другими распределениями

• Если $n=1\!$, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
• Если $n\!$ большое, то в силу центральной предельной теоремы $\mathrm{Bin}(n,p) \approx N( np, npq )$, где $N(np,npq)\!$ — нормальное распределение с математическим ожиданием $np\!$ и дисперсией $npq\!$.
• Если $n\!$ большое, а $\lambda\!$ — фиксированное число, то $\mathrm{Bin}(n, \lambda / n) \approx \mathrm{P}(\lambda)$, где $\mathrm{P}(\lambda)\!$ — распределение Пуассона с параметром $\lambda\!$.

См. также

• Треугольник Паскаля
• Локальная теорема Муавра — Лапласа