Лемма Александрова

Монотонная зависимость углов друг от друга.

Лемма Александрова — утверждение нейтральной геометрии и сферической геометрии, играющее важную роль в основаниях александровской геометрии.

Формулировка

Зафиксируем вещественное число $k$ и обозначим через $\mathbb {M} [k]$ модельную плоскость кривизны $k$. То есть

• $\mathbb {M} [0]$ есть евклидова плоскость,
• $\mathbb {M} [k]$ при $k>0$ есть сфера радиуса $1/{\sqrt {k}}$,
• $\mathbb {M} [k]$ при $k<0$ есть плоскость Лобачевского кривизны $k$.

Пусть $XPYQ$ и $X'P'Y'Q'$ — два четырёхугольника в $\mathbb {M} [k]$ с равными соответствующими сторонами. Предположим, точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от прямой $XY$, точка $Q'$ лежит на кратчайшей $X'Y'$. Тогда следующие выражения имеют один и тот же знак:

• $\measuredangle PQX+\measuredangle PQY-\pi$
• $P'Q'-PQ$

История

Лемма появляется в книге Александров, А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Теортехиздат, 1948.

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.