Сферическая геометрия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Большой круг всегда делит сферу на две равные половины. Центр большого круга совпадает с центром сферы
Малый круг делит сферу на две неравные части. Центр малого круга не совпадает с центром сферы
Сферический треугольник

Сферическая геометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии.

Основные понятия[править | править исходный текст]

  • Большой круг — это круг, который делит шар (сферу) на две равные половины. Центр большого круга всегда совпадает с центром сферы. На глобусе, к примеру, все меридианы являются большими кругами. А вот из параллелей только экватор является большим кругом. Все остальные параллели — это малые круги.
  • Большие круги на поверхности сферы играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Кратчайший путь между любыми двумя точками пройдёт по линии большого круга.
  • Через любые две точки на поверхности сферы, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. Через диаметрально противоположные точки на сфере можно провести сколько угодно больших кругов.
  • Любые два больших круга пересекаются по прямой, проходящей через центр сферы, а окружности больших кругов пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
  • При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферических двуугольника. Площадь двуугольника определяется формулой S=2R^2 \alpha , где R — радиус сферы, а \alpha — угол двуугольника в радианах.
  • Три больших круга, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников имеет место ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.
  • Стороны сферического треугольника измеряют величиной угла, образованного радиусами сферы, проведёнными к концам данной стороны. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы и больше разности двух других. Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше 2 \pi. Сумма углов сферического треугольника s = \alpha + \beta + \gamma всегда меньше 3 \pi и больше  \pi. Величина s-\pi = \varepsilon называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле Жирара S=R^2 \varepsilon.

Соотношения между элементами сферического треугольника изучает сферическая тригонометрия.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

См. Геометрия Римана

Литература[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]