Неравенство Берри — Эссеена

Неравенство Берри — Эссеена — неравенство, позволяющее оценить скорость сходимости суммы независимых случайных величин к случайной величине с нормальным распределением. Сам факт подобной сходимости носит в теории вероятностей название центральной предельной теоремы. Это неравенство было независимо выведено Эндрю Берри в 1941 и Карлом-Густавом Эссееном в 1942 годах.

Формулировка теоремы

Случай одинаково распределённых величин

Пусть дана бесконечная последовательность $X_{n}$ независимых одинаково распределённых случайных величин таких, что $M(X_{n})=0,M(X_{n}^{2})=\sigma ^{2}>0,M(|X_{n}^{3}|)=\rho <\infty$. Обозначим через $F_{n}$ распределение суммы вида $\sum _{i=1}^{n}X_{i}/\left(\sigma {\sqrt {n}}\right)$. Тогда для всех $x$ и $n$

$\left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}$,

где ${\mathcal {N}}$ обозначает стандартное нормальное распределение, а $C$ — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, $C<0.4784$.

Разнораспределённые случайные величины

Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть $X_{k}$ — это независимые случайные величины, $M(X_{k})=0,M(X_{k}^{2})=\sigma _{k}^{2},M(|X_{k}^{3}|)=\rho _{k}$. Введём обозначения: $s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},r_{n}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}$. Обозначим через $F_{n}$ распределение случайной величины вида $\sum _{i=1}^{n}X_{i}/s_{n}$. Тогда для всех $x$ и $n$

$\left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq C{\frac {r_{n}}{s_{n}^{3}}}$.

Литература

• В. Феллер. «Введение в теорию вероятностей и её приложения». — 2. — Книжный дом «Либроком», 2009. — Т. 2.
• Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. "On the upper bound for the absolute constant in the Berry-Esseen inequality" // Theory of Probability and its Applications. — 2010.