Неравенство Берри — Эссеена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Берри — Эссеена — неравенство, позволяющее оценить скорость сходимости суммы независимых случайных величин к случайной величине с нормальным распределением. Сам факт подобной сходимости носит в теории вероятностей название центральной предельной теоремы. Это неравенство было независимо выведено Эндрю Берри в 1941 и Карлом-Густавом Эссееном в 1942 годах.

Формулировка теоремы[править | править исходный текст]

Случай одинаково распределённых величин[править | править исходный текст]

Пусть дана бесконечная последовательность X_n независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что  M(X_n) = 0, M(X_n^2) = \sigma^2 > 0, M(|X_n^3|) = \rho < \infty. Обозначим через F_n распределение суммы вида \sum_{i=1}^n X_i / \sigma \sqrt{n}. Тогда для всех x и n

 \left|F_n(x) - \mathcal{N}(x)\right| \leq \frac{C\rho}{\sigma^3 \sqrt{n}},

где \mathcal{N} обозначает стандартное нормальное распределение, а C — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, C < 0.4784.[1]

Разнораспределённые случайные величины[править | править исходный текст]

Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть X_k — это независимые случайные величины,  M(X_k) = 0, M(X_k^2) = \sigma_k^2, M(|X_k^3|) = \rho_k. Введём обозначения:  s_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2, r_n = \sum_{i=1}^n \rho_i. Обозначим через F_n распределение случайной величины вида  \sum_{i=1}^n X_i / s_n. Тогда для всех x и n

 \left| F_n(x) - \mathcal{N}(x)\right| \leq C \frac{r_n}{s_n^3}.

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • В. Фёллер «Введение в теорию вероятностей и её приложения». — 2. — Книжный дом «Либроком», 2009. — Т. 2.
  • Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. "On the upper bound for the absolute constant in the Berry-Esseen inequality" // Theory of Probability and its Applications. — 2010.