Неравенство Швейцера

Неравенство Швейцера гласит следующее

Для любых вещественных чисел $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, принадлежащих отрезку $[m;M]\;$, где $M\geqslant m>0$, имеет место неравенство $\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2}.$ Более того, если $\;n$ нечётно, то $\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2}-{\frac {(m-M)^{2}}{4mM}}.$

История

Это неравенство было опубликовано в 1914 г. в статье венгерского математика Пала Швейцера (Pál Schweitzer), которого в некоторых публикациях путают с другим венгерским математиком, Миклошом Швейцером, родившимся в 1923 году. Имеется английский перевод этой статьи в приложении к работе. Поскольку до появления английского перевода со статьёй Швейцера мало кто был знаком, неравенство (вторую его часть) обычно связывают с именем Александру Йоана Лупаша, который доказал это неравенство почти на 60 лет позже Швейцера.

Равносильные неравенства

• (В. Серпинский) Для любых положительных чисел $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ верно

$\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2},$

где через A и G обозначены соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$.

Следствия

• (О. Шиша) Для любых вещественных чисел $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, принадлежащих отрезку $[m;M]$, где $0<m\leqslant M$, верно неравенство:

${\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (M-m)^{2}.$

• (Z.-C. Hao). Вещественные числа $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ принадлежат отрезку $[m;M]$, где $0<m\leqslant M$. При условии $0<q\leqslant p<1$ и $p+q=1$ имеет место неравенство:

$\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^{q}M^{q}}}.$

Обобщения

• Неравенство Канторовича

Источник

• А. Храбров. Неравенство Швейцера // В сб. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике, 2005 год. Невский диалект, 2005. -- С. 89--96.. Архивировано 20 мая 2006 года.