Среднее геометрическое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из данных чисел, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

$G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}$

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным^[1].

[править] Свойства

Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

$\operatorname{min}(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant G(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant \operatorname{max}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

Среднее геометрическое двух чисел $a = A 0, b = G 0$ является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

$A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},\quad G_i=\sqrt{A_{i-1}G_{i-1}}$

[править] Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел $x_1, \ldots, x_n$ с вещественными весами $w_1, \ldots, w_n$ определяется как

$\bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)$

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

[править] В геометрии

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью даст искомую величину.

На рисунке $BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}$ :