Среднее геометрическое

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

$G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}$

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным.

Свойства

• Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

$\operatorname{min}(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant G(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant \operatorname{max}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

• Среднее геометрическое двух чисел $a=A_0, b=G_0$ является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

$A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},\quad G_i=\sqrt{A_{i-1}G_{i-1}}$

• Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического.

Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел $x_1, \ldots, x_n$ с вещественными весами $w_1, \ldots, w_n$ определяется как

$\bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)$

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

На рисунке $BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}$:

Обобщения

• Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных $A_g(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt[g]\frac{x_1^g+\ldots+x_n^g}{n}$ при $g\to 0$.
• Среднее геометрическое является средним Колмогорова при $\phi(x)=\log x$

См. также

• Среднее арифметическое
• Среднее квадратическое
• Среднее значение
• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
• Неравенство Швейцера