Среднее геометрическое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным[1].

Свойства[править | править исходный текст]

  • Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
\operatorname{min}(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant G(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant \operatorname{max}(x_1, x_2, \ldots, x_n)
  • Среднее геометрическое двух чисел a=A_0, b=G_0 является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},\quad G_i=\sqrt{A_{i-1}G_{i-1}}

Среднее геометрическое взвешенное[править | править исходный текст]

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел x_1, \ldots, x_n с вещественными весами w_1, \ldots, w_n определяется как

 \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии[править | править исходный текст]

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

На рисунке BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}: Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG

Обобщения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]