Обобщённый метод моментов

Обобщённый ме́тод моме́нтов (ОММ; англ. GMM — Generalized Method of Moments) — метод, применяемый в математической статистике и эконометрике для оценки неизвестных параметров распределений и эконометрических моделей, являющийся обобщением классического метода моментов. Метод был предложен Хансеном в 1982 году. В отличие от классического метода моментов количество ограничений может быть больше количества оцениваемых параметров.

Сущность метода

Пусть распределение случайного вектора x зависит от некоторого вектора неизвестных параметров b (количество параметров — k). Пусть также имеются некоторые функции g(x, b) (их количество q не меньше числа оцениваемых параметров), называемые моментными функциями (или просто моментами), для которых из теоретических соображений предполагается, что

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

Базовая идея метода моментов заключается в использовании в моментных условиях вместо математических ожиданий их выборочные аналоги — выборочные средние

${\hat {m}}(b)={\overline {g(x,b)}},$

которые согласно закону больших чисел при достаточно слабых условиях должны асимптотически сходится к математическим ожиданиям. Поскольку количество условий на моменты в общем случае больше количества оцениваемых параметров, то однозначного решения эта система ограничений не имеет.

Обобщённым методом моментов (ОММ) называется оценка минимизирующая положительно определённую квадратичную форму от выборочных условий на моменты, в которых вместо математических ожиданий используются выборочные средние:

${\hat {b}}_{GMM}=\arg \min _{b}{\hat {m}}(b)^{T}W{\hat {m}}(b),$

где W — некоторая симметрическая положительно определённая матрица.

Весовая матрица может быть произвольной (с учётом положительной определённости), однако доказано, что наиболее эффективными являются GMM-оценки с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице моментных функций $W=V_{g}^{-1}$. Это так называемый эффективный GMM.

Однако, поскольку на практике эта ковариационная матрица неизвестна, то применяют двухшаговую процедуру (двухшаговый GMM — Хансен, 1982 г.):

Шаг 1. Оцениваются параметры модели с помощью GMM с единичной весовой матрицей.

Шаг 2. По выборочным данным и найденным на первом шаге значениям параметров оценивают ковариационную матрицу моментных функций ${\hat {V}}_{g}={\overline {g(x,{\hat {b}})g(x,{\hat {b}})^{T}}}$ и используют полученную оценку в эффективном GMM.

Эту двухшаговую процедуру можно продолжить (итеративный GMM): используя оценки параметров модели на втором шаге ковариационная матрица моментов оценивается снова и повторно применяется эффективный GMM и т. д. итеративно до достижения требуемой точности.

Также возможен подход к численной минимизации целевой функции ${\hat {m}}^{T}(b){\hat {V}}_{g}^{-1}(b){\hat {m}}(b)$ по неизвестным параметрам $b$. Тем самым одновременно оцениваются и параметры и ковариационная матрица. Это так называемый непрерывно обновляемый (Continuously Updated) GMM (Хансен, Хитон, Ярон, 1996 год).

Свойства метода

Оценки обобщённого метода моментов при достаточно слабых условиях являются состоятельными, асимптотически нормальными, а оценки эффективного GMM являются также асимптотически эффективными. Можно показать, что

${\sqrt {n}}({\hat {b}}_{GMM}-b){\xrightarrow {d}}N(0,V_{b}).$

В общем случае

$V_{b}=(G^{T}WG)^{-1}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{-1}$

где G-математическое ожидание матрицы первых производных g по параметрам. В случае эффективного GMM формула ковариационной матрицы существенно упрощается:

$V_{b}=G^{T}V_{g}^{-1}G.$

J-тест

При использовании GMM важным тестом является тест на сверхидентифицирующие ограничения (J-тест). Нулевая гипотеза заключается в том, что условия (ограничения) на моменты имеют место (то есть предположения модели верны). Альтернативная — что они неверны.

Статистика теста равна значению целевой функции GMM, умноженному на количество наблюдений. При нулевой гипотезе

$J=n{\hat {m}}^{T}({\hat {b}}){\hat {V}}_{g}^{-1}{\hat {m}}({\hat {b}})~{\xrightarrow {d}}~\chi ^{2}(q-k).$

Таким образом, если значения статистики больше критического значения распределения $\chi ^{2}(q-k)$ при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются (модель неадекватна), в противном случае модель признается адекватной.

См. также

• Метод моментов
• Метод наименьших квадратов
• Метод инструментальных переменных
• Метод максимального правдоподобия

Литература

• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.