Обсуждение:Основное тригонометрическое тождество

Для любителей доказательств

Уважаемые коллеги, только что я убрал со страницы появившееся там "доказательство", но, чтобы не возникало соблазна вставить его туда снова. привожу его здесь с комментариями.

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$\sin A={\frac {a}{c}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

$\cos A={\frac {b}{c}}={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

${\begin{matrix}\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)&=&\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\times {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\times {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {b^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&1\end{matrix}}$

Или:

${\begin{matrix}\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)&=&\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{c}}\times {\frac {a}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}\times {\frac {b}{c}}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&1\end{matrix}}$

Итак, во-первых, использование синуса и косинуса как соотношений сторон прямоугольного треугольника резко сужает область определения: угол A получается заключённым между 0 и ${\frac {\pi }{2}}$, тогда как на самом деле пресловутое ОТТ выполняется для произвольных значений A. Во-вторых, общепринятая формулировка теоремы Пифагора такова: в произвольном прямоугольном треугольнике на плоскости сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Соотношение $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, формально говоря, есть не сама теорема Пифагора, а её следствие (хотя в иных обстоятельствах я бы сам сказал, что разделять их глупо, поскольку они друг в друга переходят за один шаг -- но в данном случае в "доказательстве" кто-то уже исходит из предположения, что это не одно и то же; ну так вот если это отличать от $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, то теоремой Пифагора будет второе равенство, а не первое); в этой связи совершенно непонятно, зачем исходить из этого, если учесть, что на следующем шаге этот радикал возводится обратно в квадрат.

Ну а в-третьих, и в-главных, реально "доказательством" О.Т.Т. является вот этот вот абзац, присутствовавший в статье с самого начала:

Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.

Подчёркиваю, это и есть доказательство. Причём здесь используется определение синуса и косинуса для произвольного аргумента (синус и косинус как абсцисса и ордината точки пересечения луча с единичной окружностью), а не только для углов, допустимых в прямоугольном треугольнике. Поскольку доказательство тривиально, нигде в мире, кроме России, никто не делает различия между самой теоремой Пифагора и этим вот (тривиальным!) следствием из неё, и только у нас придумали это вот название "основное тригонометрическое тождество". Возвращаясь к вышеприведённому "доказательству", я хотел бы подчеркнуть, что доказательства в математике нужны, чтобы было понятно, почему дела обстоят так, а не иначе; уж если приводить доказательство через треугольник, оно должно выглядеть совершенно по-другому, например: $a=c\cos A,b=c\sin A,$ следовательно, по теореме Пифагора, $c^{2}=c^{2}\cos ^{2}A+c^{2}\sin ^{2}A$, следовательно $\sin ^{2}A+\cos ^{A}=1$, что и требовалось доказать. Однако приводить такое доказательство в статье было бы несколько странно, потому что. как я уже сказал, описываемое тождество выполняется для произвольных аргументов функций, а не только для углов первой четверти. DrCroco 21:32, 1 февраля 2012 (UTC) 91.201.112.224 14:02, 22 декабря 2014 (UTC)Виктор Коваленко