Обсуждение:Уравнение Фридмана

Вид метрики

Все переменные определены, что вы несете? Евклидово пространство, да, ляп, это декартова система координат, но не евклидово пространство. А вообще, у нас Вселенная Фридмана, и все что есть здесь - есть там, поэтому предлагаю превратить статью в перенаправление--Abeshenkov 11:36, 27 мая 2015 (UTC)

Декартова система координат может быть осуществлена только в (псевдо-) Евклидовом пространстве. В кривом пространстве общей теории относительности вообще говоря не существует ни Евклидова пространства, ни Декартовой системы координат. Поэтому в ваших словах нет физического смысла. Bakkedal 11:54, 27 мая 2015 (UTC)

Хорошо, давайте так. Вы согласны, что компоненты тензора записываются для линейного пространства, к коим сферические координаты не относятся?--Abeshenkov 12:07, 27 мая 2015 (UTC)

Если вы хотели сказать следующее: "Тензоры в общей теории относительности образуют линейное пространство; Координаты в кривом пространстве общей теории относительности вообще говоря не являются тензором и соответственно не образуют линейного пространства; Бесконечно малое приращение координат является тензором." -- то с этим я согласен. Bakkedal 12:29, 27 мая 2015 (UTC)

Нет. Я хочу сказать, что тензор, по определению, - это линейный оператор, определяемый только в линейном пространстве. --Abeshenkov 12:36, 27 мая 2015 (UTC)

В общей теории относительности наиболее конструктивно определить тензор как величину, которая при общем преобразовании координат сама преобразуется линейно через матрицу Якоби преобразования координат. Например: электромагнитное поле, заряд частицы, масса частицы -- это тензоры. Согласитесь, заряд частицы и электромагнитное поле, им создаваемое, вполне можно определить без какой-либо отсылки к "линейному оператору, определяемому только в линейном пространстве". Bakkedal 12:54, 27 мая 2015 (UTC)

Послушайте, мы можем с математическими объектами многое и прикладывать к физ миру по-разному, но тензор остается тензором - это линейный оператор в линейном же пространстве. В данном случае - минковского. Где одна координата это время, а три классические декартовые.--Abeshenkov 13:20, 27 мая 2015 (UTC)

Координаты в кривом физическом пространстве общей теории относительности не образуют линейного пространства и вообще говоря не допускают однозначного толкования время/пространство. Пространства минковского с декартовыми координатами в кривом пространстве общей теории относительности не существует. Увы, в ваших фразах нет физического смысла. Bakkedal 14:50, 27 мая 2015 (UTC)

Тогда с какого перепоя и Вайнберг и Рубаков пишут уравнения гиперболоида и сферы в декартовой системе координат?--Abeshenkov 19:00, 27 мая 2015 (UTC)

Если у вас больше нет вопросов по ОТО, я с вашего позволения, раскланяюсь. Пожалуйста, в будущем, прежде чем вносить правки в эту статью, обсудите их со мной, если вам не трудно. Bakkedal 20:15, 27 мая 2015 (UTC)

ВП:ЭП, ВП:НЕСЛЫШУ, вам привели два АИ, в которых координаты декартовы.--Abeshenkov 06:21, 28 мая 2015 (UTC)

Линейность пространства вовсе не зависит от того, каким образом раскладывать его векторы по компонентам, так как сумма двух векторов и произведение вектора на скаляр дадут один и тот же результат, рассматривай его хоть в декартовой, хоть в сферической, хоть в тороидальной системе координат, а значит, и определяющие аксиомы линейного пространства никак не пострадают. Координатная система — это довольно произвольная и вторичная надстройка над пространством, абсолютно не влияющая на его свойства. --V1adis1av 17:12, 27 мая 2015 (UTC)

В сферической системе координат, как минимум, нарушается коммутативность.--Abeshenkov 18:40, 27 мая 2015 (UTC)

Коммутативность чего? В ваших словах, увы, не содержится никакого смысла. Bakkedal 20:31, 27 мая 2015 (UTC)

Векторов, мы ж об аксиомах линейного пространства говорим.--Abeshenkov 06:21, 28 мая 2015 (UTC)

Коммутативность операции сложения векторов в ОТО не зависит от выбранной системы координат и выполняется всегда. Напоминаю вам, что координаты в ОТО ни в коей мере не являются векторами а являются произвольными (дифференцируемыми и обратимыми) параметрами. Только дифференциалы координат являются векторами.

Вы путаете причину и следствие. У нас в неком линейном пространстве есть гладкая геодезичская поверхность. Ее описание в этом неком линейном пространстве, как всякой гладкой поверхности, сводится к заданию тензора. Понятно, что поверхность, являясь некой функцией, может быть задана в различных переменных, но они все должны обеспечивать гладкость этой поверхности. Переходя к физике это требование ограничивает выбор система отсчета теми критериями, которые вы назвали. Линейное же пространство, может иметь ортогональный базис, а может не иметь, но если оно имеет, то в нашем случае, это эквивалентно утверждению, что линейное пространство декартово. Вид записываемых уравнений сферы и гиперболоида и Вайнберге и в Рубакове говорит, что базис не только ортогонален, но и нормирован.--Abeshenkov 08:32, 28 мая 2015 (UTC)

Операция сложения векторов в ОТО коммутативна. Например, уравнения Максвелла (с током) в поле тяжести можно записать как

$F_{;a}^{ab}+(-4\pi j^{b})=0$,

а можно как

$(-4\pi j^{b})+F_{;a}^{ab}=0$,

или даже как

$F_{;a}^{ab}=4\pi j^{b}$.

Порядок членов в сумме не имеет значения. Это верно для любой системы координат, поскольку ОТО, по построению, обладает свойством общей ковариантности (все уравнения сохраняют свою форму в произвольной системе координат). Bakkedal 09:25, 28 мая 2015 (UTC)

Принцип ковариатности всего лишь задает вид инварианта при преобразованиях: $ds=cdt^{2}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})$. Под преобразованием понимается переход из одной системы отсчета в другую. И не накладывает ограничения на правила суммирования векторов. Ограничение накладывает принцип суперпозиции сил. действующий в механике (ньютоновой, лагранжевой, гамильтоновой).--Abeshenkov 10:13, 28 мая 2015 (UTC)

Сил (гравитационных) в ОТО нет. Силы создаются физическими полями, например, электромагнитным полем. Гравитационное же поле в ОТО не является физическим полем, а является кривизной пространства. Для гравитационных полей принцип суперпозиции, вообще говоря, не выполняется. Чтобы вы не сказали -- всё оказывается бессмыслицей, увы... Подозреваю, вас учили в МГУ :)) Bakkedal 11:03, 28 мая 2015 (UTC)

Я пока не говорил про грав. силы, принцип ковариантности вообще выносит за скобки их природу. Для этого нужен принцип эквивалентности. Но вообщем уже понятно, что ваше желание назвать все бессмыслицей, говорит, что вы не готовы внять голосу разума. Тогда давайте делать это формально. Я привел вам двоих авторитетов, могу дать точные библиографические данные, если хотите, из которых ясно следуют, что компоненты вектора ортогональны. Если у вас есть другие АИ, то прошу их выложить, в противном случае я возвращаю свою правку с внесенными изменениями, о которых сказал выше.--Abeshenkov 11:29, 28 мая 2015 (UTC)

Вы заявили в вашей правке, что в пространстве постоянной (ненулевой) кривизны существуют Декартовы координаты. Это утверждение неверно. Bakkedal 12:03, 28 мая 2015 (UTC)

Ну я написал другое, что компоненты указанного вектора - декартовы, так это представлено в АИ, в которых я указал. Можете ли вы, окромя своих голословных утверждений что-то по этому поводу возразить.--Abeshenkov 12:12, 28 мая 2015 (UTC)

1) Если под "декартовыми компонентами" вектора вы понимаете его компоненты в декартовой системе координат, то повторяю: в кривом пространстве нет декартовых координат. Если под декартовыми компонентами вы подразумеваете что-то другое -- вы ошибаетесь в терминологии. Ни тому ни другому нет места в Википедии.

2) Ваш "указанный вектор" вообще не является вектором. Координаты в кривом пространстве не являются векторами. Вектором в ОТО называется величина, преобразующаяся линейно при общем преобразовании координат. Координаты в ОТО могут преобразовываться произвольным образом, поэтому, очевидно, они никак не могут быть вектором. Вы, видимо, просто не понимаете о чём вы говорите. В кривом пространстве ОТО многие вещи выглядят не так, как в Евклидовом пространстве. ;) Bakkedal 12:25, 28 мая 2015 (UTC)

Не можете, так и запишем. Ну тогда я возвращаю свою правку. Сразу предупреждаю, что ее откат без предоставления АИ это ВП:ДЕСТ--Abeshenkov 12:27, 28 мая 2015 (UTC)

Вам нужна ссылка на утверждение, что кривое пространство не является прямым? :)))) Bakkedal 12:33, 28 мая 2015 (UTC)

Ландау и Лифшиц "Теория Поля" пойдёт? ;) Bakkedal 12:36, 28 мая 2015 (UTC)

Пожалуйста: издание 1948 года, страница 261: "...совокупность величин ... которые при преобразовании координат преобразуются как их дифференциалы ... называется контра-вариантным вектором."

Сами координаты, очевидно, преобразуются вообще говоря совсем не так, как дифференциалы, и поэтому векторами не являются. ;) Bakkedal 12:43, 28 мая 2015 (UTC)

Вот, например, поверхность сферы -- пример пространства постоянной кривизны. На поверхности сферы ввести декартовы координаты невозможно. Bakkedal 21:21, 27 мая 2015 (UTC)

Чагось? Поверхность сферы в декартовых координатах задается диагональным тензором, где по диагонали стоят квадраты коэффициентов Ламе.--Abeshenkov 06:21, 28 мая 2015 (UTC)

Ок, ещё более подробно: поверхность Земли -- пример пространства постоянной кривизны. На поверхности Земли невозможно ввести Декартовы координаты, потому, что это не-Евклидово пространство. Иначе бы не было бы такой науки -- геодезии. Посмотрите на карту Земли -- вы видите там Декартовы координаты? Точно так же и пространство постоянной кривизны Фридмана -- в нём невозможно ввести Декартовы координаты.

Если бы поверхность земли имело постоянную кривизну, то ее можно было бы разложить в конечный ряд по сферическим гармоникам. Однако это не так, более того, поверхность не является а имеет разрывы первого и второго рода. Но если мы от поверхности перейдем к грав потенциалу, то он также раскладывается по сферическим гармоникам, где широта, долгота и полярное расстояние задается в геоцентрических декартовых координатах.--Abeshenkov 08:32, 28 мая 2015 (UTC)

Ну давайте посчитаем кривизну поверхности Земли: на поверхности Земли метрика равна $ds^{2}=a^{2}d\theta ^{2}+a^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$ где $a$ -- радиус Земли, а углы -- обычные широта и долгота. Вычисляя тензор Римана, затем тензор Риччи, находим кривизну $R$ (скаляр Риччи) Земли: $R=2/a^{2}$. Эта величина одинакова для всех точек Земли --- постоянна --- поэтому поверхность Земли называют пространством постоянной кривизны ;) Bakkedal 09:08, 28 мая 2015 (UTC)

Ну и откуда вы взяли свою метрику? А что значит обычная широта и долгота? Геоцентрические или геодезические? А радиус Земли экваториальный или полярный, или какой-нить еще? Каким в этом случае должен быть геопотенциал? А какой он на самом деле?--Abeshenkov 09:13, 28 мая 2015 (UTC)

Безусловно, под Землёй я понимаю сферу -- Землю я взял просто для того, чтобы у вас был наглядный пример. Широта (угловое расстояние от северного полюса) и долгота (разница в солнечном времени по сравнению с Лондоном) места на поверхности Земли определяются при помощи секстанта и часов, синхронизированных с Лондоном (например, путём измерения угловой высоты Солнца). Метрика определяется путём непосредственного измерения расстояния между двумя близко лежащими точками на поверхности земли. Bakkedal 09:37, 28 мая 2015 (UTC)

Иными словами, ваше эквивалентно такому: Сфера - это поверхность постоянной кривизны. Ну это и ежику понятно и не надо переходить к тензорам. Ваш пример с Землей крайне плох, т.к. она не сфера и даже не эллипсоид. А широту по Солнцу никто не измеряет (догадаетесь почему?), ну и т.д. Иными словами, вы сказали столько несуразностей, что я вас в этой теме легко закопаю.--Abeshenkov 10:13, 28 мая 2015 (UTC)

Широту места по Солнцу измерить очень даже возможно: надо на протяжении года каждый день измерять максимальную дневную высоту Солнца. Средняя величина даёт вашу широту ;). Bakkedal 10:55, 28 мая 2015 (UTC)

А высоту по какой точке будем измерять? По центру Солнца? А истинного или видимого?--Abeshenkov 10:59, 28 мая 2015 (UTC)

Зависит от того, с какой точностью вы хотите определить свои координаты. Если вам просто надо приплыть в Америку или в Индию, то такими деталями вы можете не заморачиваться. :) Bakkedal 11:09, 28 мая 2015 (UTC)

продолжение

Я говорю про те обозначения, что есть вот в этой записи:

$ds^{2}=dt^{2}-a^{2}(t)\left(dx^{2}+k{\frac {(xdx)^{2}}{1-kx^{2}}}\right),$

где k принимает значение:

k = 0 для трёхмерной плоскости,

k = 1 для трёхмерной сферы,

k = −1 для трёхмерной гиперсферы,

$x=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$ — трёхмерный радиус-вектор в квазидекартовых координатах. Вы же досужите о чем-то своем. --Abeshenkov 12:49, 28 мая 2015 (UTC)

В этой записи нет ни вектора, ни декартовых координат, уж извините. И, кстати, куда-то делись угловые дифференциалы ;) Bakkedal 12:57, 28 мая 2015 (UTC)

Понимаете, для уравнений Фридмана важно то, что форма метрики выглядит так: $ds^{2}=dt^{2}-a(t)^{2}dl^{2}$. Конкретное выражение для метрики не так важно, уравнения в любом случае называется уравнениями Фридмана. Я в этой статье использовал другие координаты (как в Ландау-Лифшице, если я правильно помню), нежели в метрике Робертсона-Уокера. Действительно, всё то же самое можно сделать и в координатах Робертсона-Уокера, я с этим не спорю. Если вы хотите привести уравнения в других координатах -- пожалуйста, напишите новую главу --- "а вот ещё уравнения Фридмана в координатах моего любимого учебника" --- но не надо уничтожать правильную, проверенную информацию. Bakkedal 13:07, 28 мая 2015 (UTC)

Что зачем и почему - это как-то сами разбирайтесь с Вайнбергом или Рубаковым. В Вайнберге я уже нашел даже слово "квазидекартовы", (Вайнберг, УРСС, КОСМОЛОГИЯ 2011 стр 24). Кстати, там немного написано и о том, о чем я распинался выше. Так что если вы срочно не предоставите АИ с опровержением, то я заношу это в статью.--Abeshenkov 13:12, 28 мая 2015 (UTC)

Для самой формы записы вид метрики не важен, а вот для их решения - ой как важен.--Abeshenkov 13:13, 28 мая 2015 (UTC)

И да, Википедия:Страшное место. С учетом того что вы наговорили, а под статьей не стоит ни одного АИ, то я сомневаюсь в ее "проверенности" (хотя вроде действительно косяков особых нет) --Abeshenkov 13:17, 28 мая 2015 (UTC)

А, понял, я забыл сослаться на учебник? Ландау-Лифшиц сойдёт? Я его обычно использую -- один из самых коротких учебников по ОТО. Bakkedal 13:22, 28 мая 2015 (UTC)

Заносите в статью, но с двумя условиями: 1) Сделайте новую главу с названимем типа "уравнения Фридмана в координатах Робертсона-Уолкера"; 2) Не пишите бессмысленной отсебятины, лучше уж просто скопируйте фразы из вашего учебника. Бессмыслицу в виде декартовых координат в кривом пространстве я буду стирать, уж не обессудьте. Можете обсудить формулировку со мной, а ещё лучше просто переведите из английской статьи. Удачи. Bakkedal 13:24, 28 мая 2015 (UTC)

И самый плохой. Да, это как минимум надо сделать, но "пространственный элемент длины в пространстве постоянной кривизны" - определение неизвестного как неведомой хренью, яснееот этого не становится. что же насчет бессмыслицы, то это лично ваше мнение. В АИ это однозначно так, об этом написано прямо.--Abeshenkov 13:29, 28 мая 2015 (UTC)

Исправил "пространственный элемент длины в пространстве" на просто "элемент длины" -- действительно, не очень элегантно было сформулировано... :)) Bakkedal 13:49, 28 мая 2015 (UTC)

Ok, не нравится Ландафшиц, сделал ссылку на 'т Хоофта -- ещё короче даже учебник. Bakkedal 14:02, 28 мая 2015 (UTC)

Ну и он сразу вводит 4-вектор и дальше все выкладки производит с ним. Затем он вводит Лорен преобразования и Лоренцеву длину как инвариант в них и понеслась.--Abeshenkov 18:22, 28 мая 2015 (UTC)