Обсуждение:Формула Эйлера — Маклорена

Происхождение формулы

Было бы неплохо рассказать, откуда вообще взялась идея выражать сумму f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n) через интеграл от f(x). Неслучайно ведь эта идея пришла в голову сразу двум людям (Эйлеру и Маклорену). А идея очень простая. Интеграл от f(x) - площадь под кривой графика f(x). А f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n) - тоже площадь, только под ступенчатой "кривой": под графиком f($\lfloor x\rfloor$). Вычесть одно из другого - и останутся кусочки: криволинейные прямоугольнички (если их можно так назвать), площади которых и просуммированы рядом Тейлора с коэффициентами Бернулли (как-то так).
Напротив, "операторные соображения" я лично вообще не понял. Особые сомнения вызывает вот эта формула: $f(x+1)-f(x)={\frac {f'(x)}{1!}}+{\frac {f''(x)}{2!}}+{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots$, про которую сказано, что она выражает ${\displaystyle \Delta }$ через ${\displaystyle D}$ с помощью формулы Тейлора. Хотя бы потому, что в правой части у нее вовсе не ряд Тейлора. В ряду Тейлора производные функций берутся не от аргумента, а от параметра. Что не удивительно: ведь ряд Тейлора - это сумма многочленов (а не каких-то произвольных функций).Clothclub (обс.) 11:45, 10 апреля 2021 (UTC)