Риманова информационная метрика

Риманова информационная метрика (англ. Riemann information metric) — единственная с точностью до постоянного множителя риманова метрика на совокупностях распределений вероятностей, инвариантная относительно статистических решающих правил категории. Для двух распределений вероятностей $P$ и $Q$ на одном и том же измеримом пространстве элементарных исходов $(\Omega ,{\mathfrak {A}})$ риманова информационная метрика задается сферическим расстоянием Бхаттачария — Рао:

$s(P,Q)=2\arccos \int _{\Omega }^{}{\sqrt {P(d\omega )Q(d\omega )}}$.

В частности, если распределения имеют плотности соответственно $p(x)$ и $q(x)$, где $x\in X\subseteq R$, тогда

$s(P,Q)=2\arccos \int _{X}^{}{\sqrt {p(x)q(x)}}dx$.

Аналогично в дискретном случае:

$s(P,Q)=2\arccos \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}$, где $n=|\Omega |$.

Локально риманова информационная метрика определяется количеством информации по Фишеру: для гладкого семейства

$\{P_{t}|\,t\in \Theta \subseteq R^{k}\}\subset \operatorname {cap} (\Omega ,{\mathfrak {A}})$

в точке $P_{\theta }$ имеет место

$ds^{2}=\sum _{i,j}^{k}dt^{i}dt^{j}I_{ij}(\theta )$,

где $I_{ij}(\theta )$ — элементы информационной матрицы Фишера. Несмотря на данное свойство метрики Бхаттачария — Рао, в теоретических исследованиях она играет менее важную роль, чем дивергенция Кульбака — Лейблера.