Теорема Бруна — Тичмарша

Теорема Бруна — Тичмарша — утверждение аналитической теории чисел, определяющее верхнюю границу распределения арифметических прогрессий из простых чисел. Носит имя математиков Вигго Бруна и Эдварда Чарльза Тичмарша.

Теорема утверждает, что если $\pi (x;q,a)$ равно числу простых чисел $p$, сравнимых с $a$ по модулю $q$ при $p\leqslant x$, то:

$\pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}$

для всех $q<x$.

История

Теорема доказана с помощью методов просеивания Монтгомери и Воном в 1973 году. Более ранний результат Бруна и Тичмарша является более слабой версией этого неравенства (с дополнительным множителем $1+o(1)$).

Усиления

Если $q$ относительно мало, то есть, $q\leqslant x^{9/20}$, то существует граница лучше:

$\pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8})}$

Это показал Мотохаси, использовавший билинейную структуру в остаточном члене решета Сельберга (Selberg), открытую им самим. Позднее идея использования структур в остаточном члене решета, благодаря расширениям комбинаторного решета Иванцем (H. Iwaniec), развита до основного метода аналитической теории чисел.

Сравнение с теоремой Дирихле

В отличие от теоремы Бруна — Тичмарша теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии даёт асимптотическую оценку, которую можно выразить в форме:

$\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)$,

но эта оценка может быть доказана только при более сильных ограничениях на $q<(\log x)^{c}$ для константы $c$, и это теорема Зигеля — Волфица.

Литература

• Yoichi Motohashi. Sieve Methods and Prime Number Theory. — Tata IFR and Springer-Verlag, 1983. — ISBN 3-540-12281-8.
• Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. — Cambridge University Press, 1976. — С. 10. — ISBN 0-521-20915-3.
• H. Mikawa. Encyclopedia of Mathematics. — Springer. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. The large sieve // Mathematika. — 1973. — Т. 20. — С. 119—134. — doi:10.1112/s0025579300004708.