Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Дирихле.

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит:

Каждая арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Фактически Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах $l$ и $k$

$\lim_{s\to 1+}\frac{\sum_p\frac1{p^s}}{\ln\frac1{s-1}}=\frac1{\varphi(k)}$

где суммирование ведется по всем простым числам $p$ с условием $p\equiv l\,\operatorname{mod}\,k$ , а $\varphi$ — функция Эйлера. Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов $\mod k$ , поскольку