Теорема Гротендика о расщеплении

Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.

История

Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году. Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году, но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю и в 1905 году Давиду Гильберту.

Формулировки

Формулировка Гротендика

Каждое голоморфное векторное расслоение ${\mathcal {E}}$ над $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

${\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),$

где ${\mathcal {O}}(a)$ обозначает расслоение с классом Черна $a$. Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.

Формулировка Биркгофа

Обратимая матрица $M$, каждая компонента которой является многочленом Лорана от $z$, представляется в виде произведения

$M=M^{+}M^{0}M^{-}$,

где матрица $M^{+}$ — многочлен от $z$, $M^{0}$ — диагональная матрица, и матрица $M^{-}$ — многочлен от ${\tfrac {1}{z}}$.

Приложения

• Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.

Вариации и обобщения

• Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над $\mathbb {P} _{k}^{1}$ для любого поля $k$.

Литература

• Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics, Birkhäuser.