Теорема Кронекера — Капелли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.


Для того, чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Пояснения[править | править вики-текст]

Система уравнений Ax=b разрешима тогда и только тогда, когда \operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A, b), где (A, b) — расширенная матрица, полученная из матрицы A приписыванием столбца b[1].

Доказательство (условия совместности системы)[править | править вики-текст]

Необходимость[править | править вики-текст]

Пусть система совместна. Тогда существуют числа x_1,\dots,x_n\in\mathbb R такие, что b=x_1 a_1+\dots+x_n a_n. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов a_1,\dots,a_n матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} B.

Достаточность[править | править вики-текст]

Пусть \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} B = r. Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как \operatorname{rang} B = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

Следствия[править | править вики-текст]

  • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
  • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
  • Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.