Ранг матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Пусть задана любая матрица А с m строк и n столбцов. Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно-независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов и это число называется рангом матрицы. Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Обычно ранг матрицы $A$ обозначается $\operatorname{rang}A$ ( $\operatorname{rg}A$ ) или $\operatorname{rank}A$ . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

[править] Определение

Пусть $A_{m\times n}$ — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы $A$ является:

нуль, если $A$ — нулевая матрица;
число $r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0$ , где $M r$ — минор матрицы $A$ порядка $r$ , а $M r + 1$ — окаймляющий к нему минор порядка $(r + 1)$ , если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы $A_{m\times n}$ порядка $k$ равны нулю ( $M k = 0$ ). Тогда $\forall M_{k+1}=0$ , если они существуют.

[править] Связанные определения

Ранг $\operatorname{rang}M$ матрицы $M$ размера $m \times n$ называют полным, если $\operatorname{rang}M = \min\{m, n\}$ .
Базисный минор матрицы A — любой минор матрицы A порядка r, где .
- Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

[править] Пример

Матрица

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 & 4 \\ 2 & 3 & -4 & 6 \\ -4 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -6 & 10 \end{pmatrix}$

имеет ранг 2, так как есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноров третьего порядка нет.

[править] Свойства

Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы A, тогда:
1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
2. любая строка (столбец) матрицы $A$ есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
Следствия:
- Если ранг матрицы равен $r$ , то любые $p : p > r$ строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
- Если $A$ — квадратная матрица, и $\det A=0\iff$ строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
- Пусть $r=\operatorname{rang}A$ , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно $r$ .
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение $A\sim B$ для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если $A\sim B$ , то их ранги равны
Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
- Количество главных переменных системы равно рангу системы.
- Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.