Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице

Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице — утверждение о существовании единственной псевдообратной матрицы для любой матрицы. Доказано независимо Элиакимом Муром в 1920 году и Роджером Пенроузом в 1955 году.

Доказательство утверждения содержит конструктивную процедуру получения такой матрицы. Так, если для данной матрицы $A$ её ранг ${\rm {rank}}A=r$ , то $A$ можно представить в виде произведения матриц $C$ и $D$ размера $m\times r$ и $r\times n$ соответственно, при этом $ImA=ImC$ и $ImA^{*}=ImD^{*}$ . Очевидно,^{[уточнить]} что матрицы $C^{*}C$ и $DD^{*}$ — невырожденные. Положив $X=D^{*}(DD^{*})^{-1}(C^{*}C)^{-1}C^{*}$ , имеет место $AX=C(C^{*}C)^{-1}C^{*}$ и $XA=D^{*}(DD^{*})^{-1}D$ , то есть матрицы $AX$ и $XA$ являются эрмитовыми проекторами на $ImC=ImA$ и $ImD^{*}=ImA^{*}$ соответственно. Следовательно, $X$ — псевдообратная матрица для матрицы $A$ . Единственность построенной таким образом матрицы показывается следующим образом: если $X_{1}$ и $X_{2}$ — псевдообратные матрицы для матрицы $A$ , то $AX_{1}$ и $AX_{2}$ — эрмитовы проекторы на $ImA$ , поэтому $AX_{1}=AX_{2}$ ; аналогично, $X_{1}A=X_{2}A$ , и следовательно $X_{1}=X_{1}(AX_{2})=(X_{1}A)X_{2}=X_{2}AX_{2}=X_{2}$ ^[1].