Теорема Решетняка о мажоризации

Теорема Решетняка о мажоризации — удобная характеризация CAT(k) пространств.

Доказана Юрием Григорьевичем Решетняком в 1960, в той же статье он доказал теорему о склеивании.

Формулировка

Пусть $X$ — CAT(κ) пространство и $\gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to X$ замкнутая спрямляемая кривая. В слуачае если $\kappa >0$, предположим дополнительно, что $\gamma$ короче чем ${\tfrac {2\cdot \pi }{\sqrt {\kappa }}}$. Тогда найдётся выпуклая фигура $\Phi$ в $\kappa$-плоскости сравнения с периметром равным длине $\gamma$ и короткое отображение $s:\Phi \to X$ такое, сужение $s|_{\partial \Phi }$ совпадает с $\gamma$.

Замечания

• Отображение $s:\Phi \to X$ в формулировке называется мажоризацией $\gamma$.
• Выпуклая фигура $\Phi$ называется мажоризатором $\gamma$.

Следствия

• Любая замкнутая геодезическая в CAT(1) пространстве имеет длину не меньше $2\cdot \pi$.

Литература

• Ю. Г. Решетняк. К теории пространств кривизны, не большей K // Матем. сб.. — 1960. — Т. 52(94), № 3. — С. 789—798.