Теорема Томсена

Теорема Томсена, $P_{7}=P_{1}$

Теорема Томсена, названная именем немецкого математика Герхарда Томсена, — это теорема элементарной геометрии, согласно которой определённая ломаная, построенная из отрезков, которые параллельны сторонам треугольника, всегда завершается в начальной точке.

Формулировка

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ с точкой $P_{1}$ на стороне $BC$. Последовательность точек и параллельных прямых строится следующим образом: параллельная стороне $AC$ прямая через точку $P_{1}$ пересекает сторону $AB$ в точке $P_{2}$, а параллельная стороне $BC$ прямая, проходящая через точку $P_{2}$, пересекает сторону$AC$ в точке $P_{3}$. Продолжим аналогичное построение. Параллельная стороне $AB$ прямая через точку $P_{3}$ пересекает сторону $BC$ в точке $P_{4}$, а параллельная стороне $AC$ прямая через точку $P_{4}$ пересекает сторону $AB$ в точке $P_{5}$. Наконец, параллельная стороне $BC$ прямая через точку $P_{5}$ пересекает сторону $AC$ в точке $P_{6}$, а параллельная стороне $AB$ прямая через точку $P_{6}$ пересекает сторону $BC$ в точке $P_{7}$. Теорема Томсена утверждает, что точки $P_{7}$ и $P_{1}$ совпадают, поэтому построение всегда приводит к замкнутому пути $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}P_{1}$.

Доказательство

Наличие в условии теоремы большого числа различных пар параллельных прямых, пересекающих стороны треугольника, даёт возможность многократного использования теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках, из которой следуют соотношения:

$P_{5}P_{6}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {AP_{5}}{AB}},$

$P_{4}P_{5}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {AP_{5}}{AB}}={\dfrac {CP_{4}}{CB}},$

$P_{3}P_{4}\parallel AB\Longrightarrow {\dfrac {CP_{4}}{CB}}={\dfrac {CP_{3}}{CA}},$

$P_{2}P_{3}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {CP_{3}}{CA}}={\dfrac {BP_{2}}{BA}},$

$P_{1}P_{2}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {BP_{2}}{BA}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}.$

Таким образом, ${\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}$. Отсюда, по теореме, обратной к теореме Фалеса, получаем, что $P_{6}P_{1}\parallel AB$. Но по условию $P_{6}P_{7}\parallel AB$. Поэтому $P_{1}=P_{7}$.

См. также

• Треугольник

Литература

• Satz von Thomsen // Schülerduden – Mathematik II. — Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004. — С. 358–359. — ISBN 3-411-04275-3. (Немецкий язык)

Ссылки

• Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (Немецкий язык)
• Weisstein, Eric W. Thomsen's Figure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.