Теорема Фридландера — Иванца

Джон Фридландер

Хенрик Иванец

Теорема Фридландера — Иванца — теоретико-числовое утверждение, согласно которому существует бесконечное множество простых чисел вида $a^{2}+b^{4}$. Первые несколько таких простых чисел:

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … ().

Сложность утверждения заключается в очень редкой встречаемости чисел вида $a^{2}+b^{4}$ — количество таких чисел, не превосходящих $X$, грубо оценивается величиной $X^{3/4}$.

Установлена в 1997 году Джоном Фридландером и Хенриком Иванцом, Иванец за результат в 2001 году удостоен премии Островского. Ранее результат считался недостижимым, так как теория решета (до использования Иванцом и Фридландером новых методов) не позволяла отличать простые числа от их попарных произведений.

В случае $b=1$ простые числа Фридландера — Иванца имеют вид $a^{2}+1$ и образуют множество:

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, …

Существует гипотеза (одна из проблем Ландау), что это множество также бесконечно (из теоремы Фридландера — Иванца это утверждение не вытекает).

Литература

• John Friedlander, Henryk Iwaniec. Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a  polynomial // PNAS. — 1997. — Т. 94, вып. 4. — doi:10.1073/pnas.94.4.1054. — PMID 11038598. — PMC 19742.
• Barry Arthur Cipra. Sieving Prime Numbers From Thin Ore // Science. — 1998. — Т. 279, вып. 5347. — С. 31. — doi:10.1126/science.279.5347.31.