Тета-граф

Тета-граф или $\Theta$-graph — вид геометрического остова, подобного графу Яо. Основной метод построения разбивает пространство вокруг каждой вершины на множество углов, которые тем самым разбивают оставшиеся вершины графа. Подобно графам Яо $\Theta$-граф содержит максимум одно ребро на конус (для выбранной вершины), а отличаются они способом выбора ребра. В то время как графы Яо выбирают ближайшую вершину согласно метрике пространства, $\Theta$-граф определяет фиксированный луч, содержащийся в каждом конусе (обычно используется биссектриса угла) и выбирается ближайший сосед согласно ортогональной проекции на этот луч. Получающийся граф показывает некоторые хорошие свойства остовного графа.

$\Theta$-графы первым описал Кларксном в 1987 и независимо Кейл в 1988.

Построение

Пример конуса $\Theta$-графа, исходящего из точки $p$ с прямой ортогональных проекций $l$

$\Theta$-графы задаются несколькими параметрами, которые определяют его построение. Наиболее очевидным параметром является $k$, который соответствует числу одинаковых конусов, которые разбивают пространство вокруг каждой вершины. В частности, для вершины $p$, конус из $p$ можно представить как два бесконечных луча, исходящих из этой точки с углом $\theta =2\pi /k$ между ними. По отношению к $p$ мы можем пометить эти конусы как $C_{1}\dots C_{k}$ по часовой стрелке. Эти конусы разбивают плоскость, а также разбивают оставшееся множество вершин графа (предполагается общее положение вершин) на множества $V_{1}\dots V_{k},$ снова относительно точки $p$. Каждая вершина графа имеет одно и то же число конусов разбиения в той же самой ориентации и мы можем рассматривать множество вершин, попавших внутрь каждого конуса.

Рассмотрим отдельный конус и нам нужно указать другой луч, исходящий из $p$, который мы обозначим $l$. Для любой вершины внутри конуса $V_{i}$ мы рассмотрим ортогональную проекцию каждой точки $v\in V_{i}$ на луч $l$. Пусть вершина $r$ обладает наименьшей такой проекцией, тогда в граф добавляется ребро $\{p,r\}$. Это главное отличие от графов Яо, которые всегда выбирают ближайшую к $p$ вершину. В примере на рисунке граф Яо включил бы ребро $\{p,q\}$.

Построение $\Theta$-графа возможно с помощью заметающей прямой за время $O(n\log {n})$.

Свойства

$\Theta$-графы показывают некоторые хорошие свойства для геометрического остова.

Когда параметр $k$ является константой, $\Theta$-граф является разреженным остовом. Каждый конус даёт максимум одно ребро, большинство вершин будет иметь малую степень и весь граф будет иметь не более $k\cdot n=O(n)$ рёбер.

Коэффициент растяжения между любыми двумя точками остова определяется как отношение между метрическим расстоянием и расстоянием по остову (то есть следуя вдоль рёбер остова). Коэффициент растяжения всего остова равен максимальному коэффициенту растяжения по всем парам точек. Как было указано выше, $\theta =2\pi /k$, тогда, если $k\geqslant 9$, $\Theta$-граф имеет коэффициент растяжения, не превосходящий $1/(\cos \theta -\sin \theta )$. Если в качестве прямой $l$ для ортогональной проекции выбирается в каждом конусе биссектриса, то для $k\geqslant 7$ коэффициент растяжения не превосходит $1/(1-2\sin(\pi /k))$.

Для $k=1$ $\Theta$-граф образует граф ближайших соседей. Для $k=2$ легко видеть, что граф связен, поскольку каждая вершина связана с чем-то слева и с чем-то справа, если они существуют. Для $k=4$ $5$, $6$ и $\geqslant 7$ известно, что $\Theta$-граф связен. Есть неопубликованные результаты, показывающие, что $\Theta$-графы связны также и для $k=3$. Есть много результатов, дающих верхнюю и/или нижнюю границу коэффициента растяжения.

Если $k$ чётно, мы можем создать вариант $\Theta _{k}$-графа, известного как полу-$\Theta _{k}$-граф, где конусы разбиты на чётные и нечётные множества и рассматриваются рёбра только в чётных конусах (или только в нечётных). Известно, что полу-$\Theta _{k}$-графы имеют некоторые очень интересные свойства. Например, известно, что полу-$\Theta _{6}$-граф (и, следовательно, $\Theta _{6}$-граф, который является просто объединением двух дополняющих друг друга полу-$\Theta _{6}$-графов) являются 2-оствами.

Программы рисования тета-графов

• Программа на языке Java
• Остова на основе конусов в Библиотеке Алгоритмов Вычислительной Геометрии (Computational Geometry Algorithms Library, CGAL)

См. также

• Граф Яо
• Геометрический остов