Метрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 24 октября 2008, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 45 правок.

Перейти к: навигация, поиск

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

[править] Формальное определение

Метрическое пространство $M$ есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ (где $\mathbb{R}$ обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек $x, y, z$ из $M$ эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

$d(x,y) = 0\Leftrightarrow x=y$ (аксиома тождества).
$d (x, y) = d (y, x)$ (аксиома симметрии).
$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть $d(x,y)\geqslant 0$ (это вытекает из аксиомы треугольника при $z = x$ ) и расстояние от $x$ до $y$ такое же, как и от $y$ до $x$ . Неравенство треугольника означает, что пройти от $x$ до $z$ можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти $x$ до $y$ , а потом от $y$ до $z$ .

[править] Обозначения

Обычно расстояние между точками $x$ и $y$ в метрическом пространстве $M$ обозначается

$d (x, y)$ ,
$| x y |$ или $| x y | M$ , если необходимо подчеркнуть что речь идет о $M$ ,
$x y$
$| x - y |$

[править] Примеры

Дискретная метрика: $d (x, y) = 0$ , если $x = y$ , и $d (x, y) = 1$ во всех остальных случаях.

Вещественные числа с функцией расстояния $d (x, y) = | y - x |$ и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния $d(x,y)=\|y-x\|$ , в случае конечной размерности это называется пространством Минковского^[1] (не надо путать с другим пространством Минковского).

Так называемая Французская железнодорожная метрика является примером, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порожденной нормой.

Любое связное риманово многообразие $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

Множество вершин любого связного графа $G$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.

Множество компактных подмножеств $K (M)$ любого метрического пространства $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

$D(x,y)=\inf\{r\mid\quad \forall x\in X~\exist y\in Y: d(x,y)<r,\quad\forall y\in Y~\exists x\in X: d(x,y)<r \}$

Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

[править] Связанные определения

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
Метрика $d$ на $M$ называется внутренней, если любые две точки $x$ и $y$ в $M$ можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к $d (x, y)$ .
Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:

$B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}$ ,

где

x

есть точка в

M

и

r

— положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество

O

является открытым, если для любой точки $x\in O$ найдётся положительное число

r

, такое, что множество точек на расстоянии меньше

r

от

x

принадлежит

O

.

Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
Расстояние $d (x, S)$ от точки $x$ до подмножества $S$ в $M$ определяется по формуле:

$d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\}$

Тогда

d (x, S) = 0

, только если

x

принадлежит замыканию

S

.

[править] Свойства

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
- Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
- Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

[править] Вариации и обобщения

Для данного множества M, функция называется псевдометрикой или полуметрикой на M если для любых точек x,y,z из M она удовлетворяет следующим условиям:
1. $d (x, x) = 0$ ;
2. $d (x, y) = d (y, x)$ (симметрия);
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в

M

могут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M/\!\sim$ где $x\sim y \Leftrightarrow d(x,\,y)=0$ .

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех $x$ , $y$ и $z$ в $M$ $d(x,z)\leqslant\max(d(x,y),d(y,z))$ .

Иногда удобно рассматривать $\infty$ -метрики, т.е. метрики со значениями $[0;\infty]$ . Для любой $\infty$ -метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например

$d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}$ или $d''(x, y) = min(1, d (x, y))$ .

Также, для любой точки такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образуеет обычное метрическое пространство. В частности любое пространствво с $\infty$ -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств с и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным $\infty$ .

[править] История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства^[2] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

[править] Примечания

↑ К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2
↑ M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74,

[править] См. также

Индуцированная метрика

[править] Литература

Н.Васильев,
- Метрические пространства Квант, №1, 1990;
- Метрические пространства Квант, №10, 1970.
В.А.Скворцов, Примеры метрических пространств, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 9, (2001).
Ю.А.Шрейдер Что такое расстояние?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 38, Физматгиз 1963 г., 76 стр.

[править] Ссылки

[0] К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2

[1] M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74,

[1]

[2]

Метрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Формальное определение

[править] Обозначения

[править] Примеры

[править] Связанные определения

[править] Свойства

[править] Вариации и обобщения

[править] История

[править] Примечания

[править] См. также

[править] Литература

[править] Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках