Метрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Определения[править | править вики-текст]

Метрическое пространство есть пара  (X,\;d), где X — множество, а d — числовая функция, которая определена на декартовом произведении X\times X, принимает значения в множестве вещественных чисел такая, что

  1. d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y (аксиома тождества).
  2. d(x,\;y)=d(y,\;x) (аксиома симметрии).
  3. d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

При этом

  • множество  X называется подлежащим множеством метрического пространства.
  • элементы множества  X называются точками метрического пространства.
  • функция d называется метрикой.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку
    0=d(x,\;x)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;x)=2{\cdot}d(x,\;y).
  • Если неравенство треугольника представить в виде
    d(x,y) \le d(x,z) + d(y,z) для всех x,y и z,
тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

Обозначения[править | править вики-текст]

Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается d(x,\;y) или \rho(x,\;y).

  • В метрической геометрии принято обозначение |xy| или |xy|_M, если необходимо подчеркнуть что речь идет о M. Реже употребляются обозначения |x-y| и |x-y|_M.
  • В классической геометрии приняты обозначения XY или |XY| (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Биекция между различными метрическими пространствами (X,\;d_X) и (Y,\;d_Y), сохраняющая расстояния, называется изометрией; **В этом случае пространства (X,\;d_X) и (Y,\;d_Y) называются изометричными.
  • Если M подмножество множества X, то, рассматривая сужение d_M=d_X\Big|_M метрики d_X на множество M, можно получить метрическое пространство (M,\;d_M), которое называется подпространством пространства (X,\;d).
  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
  • Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,\;y).
  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:
B(x;\;r)=\{y\in M\mid d(x,\;y)<r\},
где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.
  • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
  • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
  • Расстояние d(x,\;S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:
d(x,\;S)=\inf\{d(x,\;s)\mid s\in S\}.
Тогда d(x,\;S)=0, только если x принадлежит замыканию S.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть F(X,\;Y) — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства X в метрическое пространство Y. Расстояние между двумя отображениями f_1 и f_2 из этого пространства определяется как
    d_F(f_1,\;f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),\;f_2(x))\colon x\in X\}.
Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве X.
В частном случае, когда X — компактное пространство, Y — числовая прямая, получается пространство C(X) всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.
  • Пусть L[a,\;b], R[a,\;b], C[a,\;b] — пространства функций на отрезке [a,\;b], соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:
    d(f_1,\;f_2)=\int\limits_a^b|f_1(x)-f_2(x)|\,dx.
Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)
  • В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций C^k[a,\;b] метрика вводится по формуле:
    d_k(f_1,\;f_2)=\max\{d_0(f_1,\;f_2),\;d_0(f'_1,\;f'_2),\;\ldots,\;d_0(f^{(k)}_1,\;f^{(k)}_2)\},
где d_0 — метрика равномерной сходимости на C[a,\;b] (см. выше).
  • Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
  • Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому рёбру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
  • Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика — пример, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
  • Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
D(X,\;Y)=\inf \left\{ r \; \left| \; \begin{matrix} \forall x\in X\;\exist y\in Y\colon d(x,\;y)<r \\ \forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,\;y)<r \end{matrix} \right. \right\}.
  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Конструкции[править | править вики-текст]

  • Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
    1. d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=d_X(x_1,\;x_2)+d_Y(y_1,\;y_2);
    2. d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=\sqrt{d_X(x_1,\;x_2)^2+d_Y(y_1,\;y_2)^2};
    3. d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=\max\{d_X(x_1,\;x_2),\;d_Y(y_1,\;y_2)\}.
Эти метрики эквивалентны друг другу.


Свойства[править | править вики-текст]

  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
    • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
    • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Для данного множества M, функция d\colon M\times M\to\R называется квазиметрикой, псевдометрикой или полуметрикой на M если для любых точек x,\;y,\;z из M она удовлетворяет следующим условиям:
    1. d(x,\;x)=0;
    2. d(x,\;y)=d(y,\;x) (симметрия);
    3. d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (неравенство треугольника).
То есть, в отличие от метрики, различные точки в M могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/\!\sim, где x\sim y\Leftrightarrow d(x,\;y)=0.
  • Для данного множества M, функция d\colon M\times M\to\R называется квазиметрикой если для любых точек x,\;y,\;z из M она удовлетворяет следующим условиям:
    1. d(x,\;x)=0;
    2. d(x,\;y)\le c\cdot d(y,\;x) (квази симметрия);
    3. d(x,\;z)\leqslant c\cdot (d(x,\;y)+d(y,\;z)) (обобщённое неравенство треугольника).
  • Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
    Для всех x, y и z в M d(x,\;z)\leqslant\max(d(x,\;y),\;d(y,\;z)).
  • Иногда удобно рассматривать \infty-метрики, то есть метрики со значениями [0;\;\infty]. Для любой \infty-метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например
    d'(x,\;y)=\frac{d(x,\;y)}{1+d(x,\;y)} или d''(x,\;y)=\min{(1,\;d(x,\;y))}.
Также, для любой точки такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство. В частности любое пространство с \infty-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным \infty.

История[править | править вики-текст]

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[1] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]