Метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Определения

Метрическое пространство есть пара $(X,\;d)$, где $X$ — множество (подлежащее множество метрического пространства, множество точек метрического пространства), а $d$ — числовая функция (метрика пространства), которая определена на декартовом произведении $X\times X$ и принимает значения в множестве вещественных чисел — такая, что для точек $x, y \in X$

1. $d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y$ (аксиома тождества).
2. $d(x,\;y)=d(y,\;x)$ (аксиома симметрии).
3. $d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Замечание: Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку $0=d(x,\;x)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;x)=2d(x,\;y)$.

Обозначения

Обычно расстояние между точками $x$ и $y$ в метрическом пространстве $M$ обозначается $d(x,\;y)$ или $\rho(x,\;y)$.

• В метрической геометрии принято обозначение $|xy|$ или $|xy|_M$, если необходимо подчеркнуть что речь идет о $M$. Реже употребляются обозначения $|x-y|$ и $|x-y|_M$.
• В классической геометрии приняты обозначения $XY$ или $|XY|$ (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

• Биекция между различными метрическими пространствами $(X,\;d_X)$ и $(Y,\;d_Y)$, сохраняющая расстояния, называется изометрией; **В этом случае пространства $(X,\;d_X)$ и $(Y,\;d_Y)$ называются изометричными.
• Если $M$ подмножество множества $X$, то, рассматривая сужение $d_M=d_X\Big|_M$ метрики $d_X$ на множество $M$, можно получить метрическое пространство $(M,\;d_M)$, которое называется подпространством пространства $(X,\;d)$.
• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
• Метрика $d$ на $M$ называется внутренней, если любые две точки $x$ и $y$ в $M$ можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к $d(x,\;y)$.
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

$B(x;\;r)=\{y\in M\mid d(x,\;y)<r\},$

где $x$ есть точка в $M$ и $r$ — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество $O$ является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние $d(x,\;S)$ от точки $x$ до подмножества $S$ в $M$ определяется по формуле:

$d(x,\;S)=\inf\{d(x,\;s)\mid s\in S\}.$

Тогда $d(x,\;S)=0$, только если $x$ принадлежит замыканию $S$.

Примеры

• Дискретная метрика: $d(x,\;y)=0$, если $x=y$, и $d(x,\;y)=1$ во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния $d(x,\;y)=|y-x|$ и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

• Пусть $F(X,\;Y)$ — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$. Расстояние между двумя отображениями $f_1$ и $f_2$ из этого пространства определяется как

  $d_F(f_1,\;f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),\;f_2(x))\colon x\in X\}.$

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве $X$.

В частном случае, когда $X$ — компактное пространство, $Y$ — числовая прямая, получается пространство $C(X)$ всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть $L[a,\;b]$, $R[a,\;b]$, $C[a,\;b]$ — пространства функций на отрезке $[a,\;b]$, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

  $d(f_1,\;f_2)=\int\limits_a^b|f_1(x)-f_2(x)|\,dx.$

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций $C^k[a,\;b]$ метрика вводится по формуле:

  $d_k(f_1,\;f_2)=\max\{d_0(f_1,\;f_2),\;d_0(f'_1,\;f'_2),\;\ldots,\;d_0(f^{(k)}_1,\;f^{(k)}_2)\},$

где $d_0$ — метрика равномерной сходимости на $C[a,\;b]$ (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  $d(x,\;y)=\|y-x\|$.

  • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
  • в случае если размерность равна двум то плоскостью Минковского.

• Любое связное риманово многообразие $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
• Множество вершин любого связного графа $G$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому рёбру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
• Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика — пример, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Множество компактных подмножеств $K(M)$ любого метрического пространства $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

$D(X,\;Y)=\inf \left\{ r \; \left| \; \begin{matrix} \forall x\in X\;\exist y\in Y\colon d(x,\;y)<r \\ \forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,\;y)<r \end{matrix} \right. \right\}.$

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Конструкции

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
  1. $d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=d_X(x_1,\;x_2)+d_Y(y_1,\;y_2);$
  2. $d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=\sqrt{d_X(x_1,\;x_2)^2+d_Y(y_1,\;y_2)^2};$
  3. $d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=\max\{d_X(x_1,\;x_2),\;d_Y(y_1,\;y_2)\}.$

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

• Для данного множества $M$, функция $d\colon M\times M\to\R$ называется псевдометрикой или полуметрикой на $M$ если для любых точек $x,\;y,\;z$ из $M$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. $d(x,\;x)=0;$
  2. $d(x,\;y)=d(y,\;x)$ (симметрия);
  3. $d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)$ (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в $M$ могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M/\!\sim$, где $x\sim y\Leftrightarrow d(x,\;y)=0$.

• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех $x$, $y$ и $z$ в $M$ $d(x,\;z)\leqslant\max(d(x,\;y),\;d(y,\;z))$.

• Иногда удобно рассматривать $\infty$-метрики, то есть метрики со значениями $[0;\;\infty]$. Для любой $\infty$-метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например

  $d'(x,\;y)=\frac{d(x,\;y)}{1+d(x,\;y)}$ или $d''(x,\;y)=\min{(1,\;d(x,\;y))}.$

Также, для любой точки такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство. В частности любое пространство с $\infty$-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным $\infty$.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в связи с рассмотрением функциональных пространств.

См. также

• Индуцированная метрика

Литература

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.