Тождество Поллачека — Спитцера

То́ждество Полла́чека — Спи́тцера — тождество, связывающее характеристическую функцию сумм независимых случайных величин.

Формулировка

При $|z|<1$ , $Im\lambda \geqslant 0$ справедливо тождество: $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}Me^{\lambda {\overline {S_{n}}}}=\exp {\mathcal {f}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}Me^{i\lambda max(0,S_{k})}{\mathcal {g}}$

Пояснения

В формулировке теоремы ${\mathcal {f}}\xi _{k}{\mathcal {g}}$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\xi _{k},S_{0}=0$, а ${\overline {S_{n}}}=\max(0,\xi _{n})=\max(0,S_{1},...,S_{n})$. Тождество связывает характеристическую функцию ${\overline {S_{n}}}$ с характеристическими функциями $\max(0,S_{n})$.

Литература

• Боровков, А. А. Курс теории вероятностей. — М. : Наука, 1972. — С. 184.