Точная верхняя и нижняя грань

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Точная верхняя и нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Замечание
2 Примеры
3 Свойства
4 Примечания

[править] Определения

Точной верхней гранью, или супре́мумом (лат. supremum, самый высокий) подмножества Х упорядоченного множества M, называется наименьший элемент M, который больше или равен всех элементов множества Х. Обозначается $\sup X$ .

Более формально:

$S_X=\{y\in M |\ \forall x \in X: x \leq y\}\!$ — множество верхних граней X, то есть элементов M, больших, чем все элементы X

$s=\sup(X) \iff s \in S_X \and \forall y \in S_X: s\le y$

Точной нижней гранью, или и́нфимумом (лат. infimum, самый низкий) подмножества Х упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который меньше или равен всех элементов множества Х. Обозначается $\inf X$ .

[править] Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли $\sup X$ и $\inf X$ множеству $X$ или нет. В случае $s=\sup X\in X$ , говорят, что $s$ является максимумом $X$ . В случае $i=\inf X\in X$ , говорят, что $i$ является минимумом $X$ .

[править] Примеры

На множестве всех действительных чисел больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. $\inf$ такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого подмножества натуральных чисел существует минимум^[1].
Для множества $S=\left\{\frac{1}{k} | k\in\Bbb N \right\} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \right\}$

$\sup S = 1$ ; $\inf S = 0$ .

Множество положительных действительных чисел $\Bbb R_+ = \{ x | x>0 \}$ не имеет точной верхней грани в $\Bbb R$ , точная нижняя грань $\inf \Bbb R_+ = 0$ .
Множество $X = \{ x\in\Bbb Q | x^2 < 2 \}$ рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в $\Bbb Q$ , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

$\sup X = \sqrt{2}$ и $\inf X = -\sqrt{2}$ .

[править] Свойства

Для любого ограниченного сверху подмножества $\mathbb{R}$ , существует $\sup$ .
Для любого ограниченного снизу подмножества $\mathbb{R}$ , существует $\inf$ .
Вешественное число s, является тогда и только тогда
1. $s$ есть верхняя грань $X$ т.е. для всех элементов $x\in X$ , $x\leqslant s$ .
2. для любого $\varepsilon>0$ найдётся $x\in X$ , такой, что $x+\varepsilon > s$ (т.е. к $s$ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества $X$ )
Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.