Ограниченное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Ограниченное числовое множество[править | править вики-текст]

Множество вещественных чисел X \subset \mathbb{R} называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b:


\exists b \; \forall x \; (x \in X \Rightarrow x \leqslant b)

Множество вещественных чисел X \subset \mathbb{R} называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше b: 
\exists b \; \forall x \; (x\in X \Rightarrow x \geqslant b)

Множество X \subset \mathbb{R}, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество X \subset \mathbb{R}, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок [a, b] = \{ a \leqslant x \leqslant b\},

неограниченного — множество всех целых чисел \mathbb{Z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\},
ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч x < 0,
ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч x > 0.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Ограниченное множество в метрическом пространстве[править | править вики-текст]

Пусть (X, \rho) — метрическое пространство. Множество M \subset X называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре B_r(a):


\exists a \in X \; \exists (r > 0) \; \forall x \in X (x \in M \Rightarrow \rho(a, x) < r)

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

В отличие от числовой прямой, в произвольном метрическом пространстве нельзя ввести понятия ограниченного сверху и ограниченного снизу множеств.

Помимо понятия ограниченного множества для произвольного метрического пространства существует более специальное понятие вполне ограниченного множества. В случае числовых множеств это понятие совпадает с понятием ограниченного множества.

Ограниченность в частично упорядоченном множестве[править | править вики-текст]

Понятия ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества можно ввести в произвольном частично упорядоченном множестве. Эти определения буквально повторяют соответствующие определения для числовых множеств.

Пусть (P, \leqslant) — частично упорядоченное множество, S \subset P. Множество S называется ограниченным сверху, если


\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \leqslant b)

ограниченным снизу, если


\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \geqslant b)

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

См. также[править | править вики-текст]