Трилинейная интерполяция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Трилинейная интерполяция — метод многомерной интерполяции в трёхмерном евклидовом пространстве. Линейно аппроксимирует значение функции f в точке (x, y, z), используя известные значения в окружающих точках.

Трилинейная интерполяция часто используется в численном анализе и машинной графике[источник не указан 618 дней].

Сравнение с линейной и билинейной интерполяцией[править | править вики-текст]

Трилинейная интерполяция является расширением линейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью D=1, и билинейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью D=2, на пространство размерности D=3. Для того чтобы интерполировать значения функции в точке (x,y,z), необходимо знать значения f в 8 смежных точках, окружающих (x,y,z).

Интерполяция действительной функции[править | править вики-текст]

Допустим, требуется интерполировать значение функции f в точке (x,y,z). Пусть даны значения функции f в окружающих точках (x_i,y_j,z_k), где i=1,2, j=1,2, k=1,2, причем x_1<x<x_2, y_1<y<y_2, z_1<z<z_2. Последовательно проводя линейную интерполяцию для каждого измерения, можно получить следующую формулу:

 
\begin{align}
f(x,y,z)&\approx\frac{f(x_1,y_1,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y_2-y)(z_2-z)+\\
&+\frac{f(x_1,y_1,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y_2-y)(z-z_1)+\\
&+\frac{f(x_1,y_2,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y-y_1)(z_2-z)+\\
&+\frac{f(x_1,y_2,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y-y_1)(z-z_1)+\\
&+\frac{f(x_2,y_1,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y_2-y)(z_2-z)+\\
&+\frac{f(x_2,y_1,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y_2-y)(z-z_1)+\\
&+\frac{f(x_2,y_2,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y-y_1)(z_2-z)+\\
&+\frac{f(x_2,y_2,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y-y_1)(z-z_1).
\end{align}