Уравнение Стейнхарта — Харта

Уравне́ние Сте́йнхарта — Ха́рта — математическая модель, описывающая сопротивление полупроводниковых терморезисторов с отрицательным температурным коэффициентом электрического сопротивления в зависимости от температуры.

В наиболее общем виде это уравнение:

${{\frac {1}{T}}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\ln ^{i}(R)=}$

${=a_{0}+a_{1}\ln(R)+a_{2}\ln ^{2}(R)+a_{3}\ln ^{3}(R)+a_{4}\ln ^{4}(R)+\ldots }$

где: $T$ — абсолютная температура (в Кельвинах);

$R$ — сопротивление при температуре $T$ (в Омах);

$a_{i}$ - коэффициенты уравнения Стейнхарта — Харта, зависящие от начального сопротивления терморезистора, его типа.

В практических расчётах членом суммы $a_{2}\ln ^{2}(R)$ и последующими членами ${a_{4}\ln ^{4}(R)+\ldots }$ обычно пренебрегают так как они, как правило, вносят несущественный вклад в точность результата расчётов по уравнению.

Поэтому уравнение обычно записывают так:

${1 \over T}=A+B\ln(R)+C[\ln(R)]^{3},$

где $A=a_{0},$ $B=a_{1},$ $C=a_{3}.$

Коэффициенты $A$, $B$, $C$ зависят от параметров терморезистора и от диапазона температур в котором это уравнение даёт достаточную для практического применения точность.

Обратное уравнение

Для вычисления сопротивления терморезистора при заданной температуре используется обратное уравнение Стейнхарта — Харта:

$R=\exp \left({\sqrt[{3}]{y-{x \over 2}}}-{\sqrt[{3}]{y+{x \over 2}}}\right),$

где

${\begin{aligned}x&={\frac {1}{C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right),\\y&={\sqrt {\left({B \over 3C}\right)^{3}+\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Экспериментальное определение коэффициентов уравнения Стейнхарта — Харта

Если коэффициенты уравнения неизвестны для конкретного терморезистора, то они могут определены экспериментально по трём сопротивлениям терморезистора при трёх разных температурах.

Коэффициенты находятся как решения системы из трёх уравнений:

${\begin{bmatrix}1&\ln \left(R_{1}\right)&\ln ^{3}\left(R_{1}\right)\\1&\ln \left(R_{2}\right)&\ln ^{3}\left(R_{2}\right)\\1&\ln \left(R_{3}\right)&\ln ^{3}\left(R_{3}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{T_{1}}}\\{\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}$

где $R_{1}$, $R_{2}$ и $R_{3}$ — значения сопротивления при температуре $T_{1}$, $T_{2}$ и $T_{3}$ соответственно.

Подстановки и решение системы:

${\begin{aligned}L_{1}&=\ln \left(R_{1}\right),\;L_{2}=\ln \left(R_{2}\right),\;L_{3}=\ln \left(R_{3}\right)\\Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\;Y_{2}={\frac {1}{T_{2}}},\;Y_{3}={\frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{L_{2}-L_{1}}},\;\gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1}}}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\right)\left(L_{1}+L_{2}+L_{3}\right)^{-1}\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\left(L_{1}^{2}+L_{1}L_{2}+L_{2}^{2}\right)\\\Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{aligned}}$

Применение уравнения

Уравнение позволяет по измеренному сопротивлению терморезистора вычислить его температуру и обратно — по температуре терморезистора вычислить его сопротивление и обеспечивает хорошую точность во всем рабочем диапазона температур, например, терморезистивного термометра.

Коэффициенты входящие в уравнение Стейнхарта — Харта обычно публикуются производителями терморезисторов в справочных данных на конкретные типы терморезисторов.

Скрипт на Ruby для расчета

#!/usr/bin/env ruby

puts puts "\t\u2318\u2318 You're using Ruby ver. " + RUBY_VERSION + "\t\u2318\u2318"

$k = 273.15

E = ( Math::E )

def ln(x)
  ( ln = Math.log(x) )
end 

def sqrt(x)
  ( sqrt = Math.sqrt(x) )
end 

def cbrt(x)
  ( cbrt = Math.cbrt(x) )
end 

def exp(x)
  ( exp = Math.exp(x) )
end 
#-----------------------------------
def arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3)
  y1 = 1 / t1; y2 = 1 / t2; y3 = 1 / t3 
  l1 = ln(r1); l2 = ln(r2); l3 = ln(r3)

  g2 = (y2 - y1) / (l2 -l1)
  g3 = (y3 - y1) / (l3 -l1)

  c = ((g3 -g2) / (l2 - l1)) / (l1 + l2 + l3)
  b = g2 - c * (l1 ** 2 + l1 * l2 + l2 ** 2)
  a = y1 - (b + c * l1 ** 2) * l1
	
  arr_abc = [a, b, c]
end

=begin 
# Прмер ввода экспериментальных данных:

t1 =  0 + $k; r1 = 32.014e+3
t2 = 40 + $k; r2 =  5.372e+3
t3 = 70 + $k; r3 =  1.7942e+3

# -------------------------------------
=end
# Расчёт:

tmp = arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3)
a_t = tmp[0]; b_t = tmp[1]; c_t = tmp[2]

#puts "A = #{a_t}, B = #{b_t}, C = #{c_t}"

#------------------------
=begin
# Данные для проверки:
t = 55; t = t + $k
=end

x = (a_t - 1 / t) / c_t
y = sqrt((b_t / (3 * c_t)) ** 3 + (x / 2) ** 2)

#--------------------------

# Расчет сопротивления по температуре: 
r_tmp = exp( cbrt(y - (x / 2)) - cbrt(y + (x / 2)) )

puts "T = #{t - $k}°C, R = #{(r_tmp).round(1)} Ω"

# Расчет температуры по сопротивлению:
t_r = 1 / (a_t + b_t * ln(r_tmp) + c_t * ((ln(r_tmp).abs) ** 3) )

puts "R = #{(r_tmp).round(1)} Ω, T = #{(t_r - $k).round(2)}°C"

Результат:
T = 55.0°C, R = 3052.2 Ω
R = 3052.2 Ω, T = 55.0°C

Из datasheet для EPCOS R/T:4901; B25/100: 3950K
 — 3.0393 kΩ —

Авторы уравнения

Уравнение названо в честь Джона Стейнхарта (John S. Steinhart) и Стэнли Харта (Stanley R. Hart), впервые опубликовавших его в 1968 г.

Профессор Стейнхарт (1929—2003), член Американского Геофизического Союза и Американской ассоциации содействующей развитию науки, был членом факультета Висконсинского университета в Мадисоне с 1969 по 1991 гг.

Доктор Харт, старший научный сотрудник в Woods Hole Oceanographic Institution с 1989 и член Геологического сообщества Америки, Американского Геофизического Союза, геохимического сообщества и европейской ассоциации геохимии, работал с профессором Стейнхартом в институте Карнеги в Вашингтоне, где было предложено это уравнение.

Ссылки

• Калькулятор уравнения Стейнхарта —Харта (англ.)