Уравновешенное множество

Множество $B$, принадлежащее векторному пространству $V$, называется уравновешенным, если для любого скаляра $\alpha$, такого что $|\alpha|\leqslant 1$, выполняется соотношение

$\alpha B\subset B,$

то есть для любого элемента $x\in B$ элемент $\alpha x\in B$, $|\alpha|\leqslant 1$.

Например, круг на плоскости, шар в $\R^n$ с центром в начале координат — выпуклые и уравновешенные множества. Прямоугольник в $\R^n$: $\alpha_i\leqslant x_i\leqslant\beta_i,\;i=1,\;2,\;\ldots,\;n$ — множество выпуклое и, вообще говоря, неуравновешенное.

Литература

• Садовничий В. А. Теория операторов: Учебник для вузов. — 4-е изд. — М.: Дрофа, 2001. — 384 с. — ISBN 5-7107-8699-3.