Хребтовая функция

Хребтовая функция — функция комплексного переменного, модуль которой в каждой точке некоторого интервала мнимой оси больше или равен модулю функции во всех точках прямой, параллельной действительной оси. Понятие хребтовой функции и изучение её свойств впервые провёл Дюге.

Определение

Функция комплексного переменного $z$, определённая и аналитическая в области $D$, содержащей интервал $\left(ia,ib\right)$ мнимой оси $a<b$ называется хребтовой в $D$ вдоль интервала $\left(ia,ib\right)$ мнимой оси, если для всех $z=x+iy\in D,y\in \left(a,b\right)$ верно нерваенство $\left|f(x+iy)\right|\leq \left|f(iy)\right|$ .

Свойства

Если функция $f\not \equiv 0$, хребтовая в $D$, то:

• функция $\arg f(iy)$ постоянна для всех $y\in \left(a,b\right)$.
• функция $\ln \left|f(iy)\right|$ выпукла для всех $y\in \left(a,b\right)$(Теорема Дюге).

Литература

• Рамачандран Б. / Пер. с англ. С. Г. Малошевского и Б. П. Тимофеева ; Под ред. В. В. Петрова. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.