Аналитическая функция

Аналити́ческая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция $f$ называется аналитической в точке $z_0$, если сужение функции $f$ на некоторую окрестность $z_0$ является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке $z_0$, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки $z_0$.

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного $f(z)=u(z)+iv(z)$ (где $u(z)$ и $v(z)$ — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в каждой точке некоторой области $A\subset\mathbb C$, называемой областью аналитичности, выполняется одно из трёх равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке $z=x+iy\in A$ выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);
2. Ряд Тейлора функции в каждой точке $z\in A$ сходится и его сумма равна $f(z)$ (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
3. Интеграл $\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0$ для любой замкнутой кривой $\Gamma\subset A$ (аналитичность в смысле Коши)

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность трёх определений.

Свойства

• Арифметические свойства

Если $f(z)$ и $g(z)$ аналитичны в области $G\subset\mathbb C$

1. Функции $f(z)\pm g(z)$, $f(z)\cdot g(z)$ и $f(g(z))\,$ аналитичны в $G$.
2. Если $g(z)$ в области $G$ не обращается в ноль, то $\frac{f(z)}{g(z)}$ будет аналитична в $G$
3. Если $f'(z)$ в области $G$ не обращается в ноль, то $f^{-1}(z)$ будет аналитична в $G$.

• Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Обратное в общем случае неверно.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме:

• Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку, то функция тождественно равна нулю.

Примеры

Все многочлены являются аналитическими функциями во всей плоскости $\mathbb C$. Далее, аналитическими (правда, в большинстве случаев в каких-то определённых областях) являются элементарные функции.

Но:

1. Функция $f(z)=|z|$ не является аналитической в $\mathbb C$, так как она не имеет производной в точке $z=0$.
2. Функция $f(z)=\overline{z}$ не является аналитической по тем же соображениям. Однако её сужение на вещественную ось будет аналитической функцией, так как оно будет совпадать с сужением функции $f(z)=z$.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.