Аналитическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аналити́ческая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z_0, если сужение функции f на некоторую окрестность z_0 является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z_0, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z_0.

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного f(z)=u(z)+iv(z) (где u(z) и v(z) — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в каждой точке некоторой односвязной области A\subset\mathbb C, называемой областью аналитичности, выполняется одно из трёх равносильных условий:

  1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке z=x+iy\in A выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);
  2. Ряд Тейлора функции в каждой точке z\in A сходится и его сумма равна f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
  3. Интеграл \int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0 для любой замкнутой кривой \Gamma\subset A (аналитичность в смысле Коши)

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность трёх определений.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Арифметические свойства

Если f(z) и g(z) аналитичны в области G\subset\mathbb C

  1. Функции f(z)\pm g(z), f(z)\cdot g(z) и f(g(z))\, аналитичны в G.
  2. Если g(z) в области G не обращается в ноль, то \frac{f(z)}{g(z)} будет аналитична в G
  3. Если f'(z) в области G не обращается в ноль, то f^{-1}(z) будет аналитична в G.
  • Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Обратное в общем случае неверно.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме:

  • Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку, то функция тождественно равна нулю.
  • Для функции от нескольких действительных переменных аналитичности по каждой из переменных недостаточно для аналитичности функции. Для функции от нескольких комплексных переменных аналитичности по каждой из переменных достаточно для аналитичности функции (Теорема Хартогса).

Примеры[править | править исходный текст]

Все многочлены являются аналитическими функциями во всей плоскости \mathbb C. Далее, аналитическими (правда, в большинстве случаев в каких-то определённых областях) являются элементарные функции.

Но:

  1. Функция f(z)=|z| не является аналитической в \mathbb C, так как она не имеет производной в точке z=0.
  2. Функция f(z)=\overline{z} не является аналитической по тем же соображениям. Однако её сужение на вещественную ось будет аналитической функцией, так как оно будет совпадать с сужением функции f(z)=z.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.