Четырёхполюсник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Четырёхпо́люсник — разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведения[править | править вики-текст]

Схема четырёхполюсника

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких преопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U1, I1) и выходной (U2, I2) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два остальные — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой


\begin{cases}
  U_2=b_{11}U_1+b_{12}I_1 \\
  I_2=b_{21}U_1+b_{22}I_1 \\
\end{cases};~~~
\begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix}

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Поскольку четырёхполюсник имеет четыре параметра состояния, очевидно, что имеется шесть систем уравнений, выражающих различные пары параметров через два остальных. Коэффициенты этих шести систем уравнений получили традиционное наименование A-, B-, G-, H-, Y- и Z-параметров. Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.1

Системы параметров[править | править вики-текст]

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров[править | править вики-текст]

Тип Система уравнений Эквивалентная схема Измерение параметров
~G \begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix}
Equivalent Quadripole G.gif
~
g_{11} = \left. \frac{I_1}{U_1} \right|_{I_2 = 0} \quad
g_{12} = \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{U_1 = 0}

~
g_{21} = \left. \frac{U_2}{U_1} \right|_{I_2 = 0} \quad
g_{22} = \left. \frac{U_2}{I_2} \right|_{U_1 = 0}

~H \begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix}
Equivalent Quadripole H.gif
~
h_{11} = \left. \frac{U_1}{I_1} \right|_{U_2 = 0} \quad
h_{12} = \left. \frac{U_1}{U_2} \right|_{I_1 = 0}

~
h_{21} = \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{U_2 = 0} \quad
h_{22} = \left. \frac{I_2}{U_2} \right|_{I_1 = 0}

~Y \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix}
Equivalent Quadripole Y.gif
~
y_{11} = \left. \frac{I_1}{U_1} \right|_{U_2 = 0} \quad
y_{12} = \left. \frac{I_1}{U_2} \right|_{U_1 = 0}

~
y_{21} = \left. \frac{I_2}{U_1} \right|_{U_2 = 0} \quad
y_{22} = \left. \frac{I_2}{U_2} \right|_{U_1 = 0}

~Z \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix}
Equivalent Quadripole Z.gif
~
z_{11} = \left. \frac{U_1}{I_1} \right|_{I_2 = 0} \quad
z_{12} = \left. \frac{U_1}{I_2} \right|_{I_1 = 0}

~
z_{21} = \left. \frac{U_2}{I_1} \right|_{I_2 = 0} \quad
z_{22} = \left. \frac{U_2}{I_2} \right|_{I_1 = 0}

~A \begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} 
~
a_{11} = \left. \frac{U_1}{U_2} \right|_{I_2 = 0} \quad
a_{12} = \left. \frac{U_1}{I_2} \right|_{U_2 = 0}

~
a_{21} = \left. \frac{I_1}{U_2} \right|_{I_2 = 0} \quad
a_{22} = \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{U_2 = 0}

~B \begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} 
~
b_{11} = \left. \frac{U_2}{U_1} \right|_{I_1 = 0} \quad
b_{12} = \left. \frac{U_2}{I_1} \right|_{U_1 = 0}

~
b_{21} = \left. \frac{I_2}{U_1} \right|_{I_1 = 0} \quad
b_{22} = \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{U_1 = 0}

Преобразование параметров[править | править вики-текст]

~H ~Y ~Z ~G ~A
~H

~h_{11}=1/y_{11}
~h_{12}=-y_{12}/y_{11}
~h_{21}=y_{21}/y_{11}
~h_{22}=\Delta_y/y_{11}
~\Delta_h=y_{22}/y_{11}

~h_{11}=\Delta_z/z_{22}
~h_{12}=z_{12}/z_{22}
~h_{21}=-z_{21}/z_{22}
~h_{22}=1/z_{22}
~\Delta_h=z_{11}/z_{22}

~h_{11}=g_{22}/\Delta_g
~h_{12}=-g_{12}/\Delta_g
~h_{21}=-g_{21}/\Delta_g
~h_{22}=g_{11}/\Delta_g
~\Delta_h=1/\Delta_g

~h_{11}=B/D
~h_{12}=\Delta_A/D
~h_{21}=-1/D
~h_{22}=C/D

~Y

~y_{11}=1/h_{11}
~y_{12}=-h_{12}/h_{11}
~y_{21}=h_{21}/h_{11}
~y_{22}=\Delta_h/h_{11}
~\Delta_y=h_{22}/h_{11}

~y_{11}=z_{22}/\Delta_z
~y_{12}=-z_{12}/\Delta_z
~y_{21}=-z_{21}/\Delta_z
~y_{22}=z_{11}/\Delta_z
~\Delta_y=1/\Delta_z

~y_{11}=\Delta_g/g_{22}
~y_{12}=g_{12}/g_{22}
~y_{21}=-g_{21}/g_{22}
~y_{22}=1/g_{22}
~\Delta_y=g_{11}/g_{22}

~y_{11}=D/B
~y_{12}=-\Delta_A/B
~y_{21}=-1/B
~y_{22}=A/B

~Z

~z_{11}=\Delta_h/h_{22}
~z_{12}=h_{12}/h_{22}
~z_{21}=-h_{21}/h_{22}
~z_{22}=1/h_{22}
~\Delta_z=h_{11}/h_{22}

~z_{11}=y_{22}/\Delta_y
~z_{12}=-y_{12}/\Delta_y
~z_{21}=-y_{21}/\Delta_y
~z_{22}=y_{11}/\Delta_y
~\Delta_z=1/\Delta_y

~z_{11}=1/g_{11}
~z_{12}=-g_{12}/g_{11}
~z_{21}=g_{21}/g_{11}
~z_{22}=\Delta_g/g_{11}
~\Delta_z=g_{22}/g_{11}

~z_{11}=A/C
~z_{12}=\Delta_A/C
~z_{21}=1/C
~z_{22}=D/C

~G

~g_{11}=h_{22}/\Delta_h
~g_{12}=-h_{12}/\Delta_h
~g_{21}=-h_{21}/\Delta_h
~g_{22}=h_{11}/\Delta_h
~\Delta_g=1/\Delta_h

~g_{11}=\Delta_y/y_{22}
~g_{12}=y_{12}/y_{22}
~g_{21}=-y_{21}/y_{22}
~g_{22}=1/y_{22}
~\Delta_g=y_{11}/y_{22}

~g_{11}=1/z_{11}
~g_{12}=-z_{12}/z_{11}
~g_{21}=z_{21}/z_{11}
~g_{22}=\Delta_z/z_{11}
~\Delta_g=z_{22}/z_{11}

~g_{11}=C/A
~g_{12}=-\Delta_A/A
~g_{21}=\Delta_A/A
~g_{22}=B/A

~A

A=-\Delta_h/h_{21}
B=h_{11}/h_{21}
C=-h_{22}/h_{21}
D=-1/h_{21}

A=-y_{22}/y_{21}
B=-1/y_{21}
C=-\Delta_y/y_{21}
D=-y_{11}/y_{21}

A=z_{11}/z_{21}
B=\Delta_z/z_{21}
C=1/z_{21}
D=z_{22}/z_{21}

A=1/g_{21}
B=g_{22}/g_{21}
C=g_{11}/g_{21}
D=\Delta_g/g_{21}

Преобразования схем[править | править вики-текст]

Rin, Rout — входное и выходное сопротивления; KI, KU — коэффициенты усиления по току и напряжению.

~
R_{in}=\frac{U_1}{I_1}; \qquad
R_{out}=\frac{U_2}{I_2}; \qquad
K_{I}=\frac{I_2}{I_1}; \qquad
K_{U}=\frac{U_2}{U_1}.

Схема ~H ~Y ~Z ~G
Quadripole 01.gif

~R_{in}=\frac{h_{11}+\Delta_h R}{1+h_{22} R}

~R_{out}=\frac{h_{11}+r}{\Delta_h+h_{22} r}

~K_{I}=\frac{h_{21}}{1+h_{22} R}

~K_{U}=\frac{-h_{21} R}{h_{11}+\Delta_h R}

~R_{in}=\frac{ 1+y_{22} R }{   y_{11}+\Delta_y R   }

~R_{out}=\frac{   1+y_{11} r   }{   y_{22}+\Delta_y r   }

~K_{I}=\frac{   y_{21}   }{   y_{11}+ \Delta_y R    }

~K_{U}=\frac{   -y_{21} R   }{   1+y_{22} R   }

~R_{in}=\frac{   \Delta_z + z_{11} R   }{   z_{22}+R   }

~R_{out}=\frac{   \Delta_z + z_{22} r   }{   z_{22}+r   }

~K_{I}=\frac{   -z_{21}   }{   z_{22}+R    }

~K_{U}=\frac{   z_{21} R   }{   \Delta_z+z_{11} R   }

~R_{in}=\frac{   g_{22}+R   }{   \Delta_g+g_{11} R   }

~R_{out}=\frac{   g_{22}+\Delta_g r   }{   1+g_{11} r   }

~K_{I}=\frac{   -g_{21}   }{   \Delta_g+g_{11} R    }

~K_{U}=\frac{   g_{21} R   }{   g_{22}+R   }

Описание четырёхполюсника[править | править вики-текст]

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами (из которых только три являются независимыми). Как правило, используется одна из шести систем формальных параметров четырёхполюсника:

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Существуют два типа вторичных параметров четырёхполюсников:

  • Характеристические сопротивления Zc
  • постоянные передачи Г.

Но как правило они используются для расчёта и исследования каскадного соединения одинаковых четырёхполюсников.

Разновидности четырёхполюсников[править | править вики-текст]

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависят от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсников[править | править вики-текст]

Идеальный трансформатор[править | править вики-текст]

Идеальный трансформатор - это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):


\begin{cases}
 U_1=h_{12}U_2 \\
 I_2=h_{21}I_1 \\
\end{cases};
\begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 & h_{12} \\ h_{21} & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix}

Гиратор[править | править вики-текст]

Гиратор - пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток - в выходное напряжение, а входное напряжение - в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток. Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей):

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): \begin{cases} I_1=y_{12}U_2 \\ I_2=y_{21}-U_1 \\ \end{cases}; \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & y_{12} \\ -y_{21} & 0\end{pmatrix} \begin{matrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix}

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:

Невозможно разобрать выражение (Преобразование в PNG прошло с ошибкой — проверьте правильность установки latex и dvips (или dvips + gs + convert)): Z_{out}=\frac{1}{ -Z_{in}_y{21}^2}.


Литература[править | править вики-текст]

  • Бессонов Л.А. «Теоретические основы электротехники», «Высшая школа», М., 1973 г.