Четырёхполюсник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения[1]. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведения[править | править вики-текст]

Схема четырёхполюсника

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких преопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U1, I1) и выходной (U2, I2) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два остальные — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой


\begin{cases}
  U_2=b_{11}U_1+b_{12}I_1 \\
  I_2=b_{21}U_1+b_{22}I_1 \\
\end{cases};~~~
\begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix}

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Системы параметров[править | править вики-текст]

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсника[2]:

  • A-форма U1=AU2+BI2; I1=CU2+DI2, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенные[3] или комплексные[4] параметры.
  • Y-форма I1=Y11U1+Y12U2; I2=Y21U1+Y22U2, где Y11, Y12, Y21, Y22 — Y-параметры, или параметры проводимостей[5].
  • Z-форма U1=Z11I1+Z12I2; U2=Z21I1+Z22I2, где Z11, Z12, Z21, Z22 — Z-параметры, или параметры сопротивлений[5].
  • H-форма U1=h11I1+h12U2; I2=h21I1+h22U2, где h11, h12, h21, h22 — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторами[3].
  • G-форма I1=G11U1+G12I2; U2=G21U1+G22I2
  • B-форма U2=B11U1+B12I1; I2=B21U1+B22I1

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров[править | править вики-текст]

Тип Система уравнений Эквивалентная схема Измерение параметров
~G \begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix}
Equivalent Quadripole G.gif
~
g_{11} = \left. \frac{I_1}{U_1} \right|_{I_2 = 0} \quad
g_{12} = \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{U_1 = 0}

~
g_{21} = \left. \frac{U_2}{U_1} \right|_{I_2 = 0} \quad
g_{22} = \left. \frac{U_2}{I_2} \right|_{U_1 = 0}

~H \begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix}
Equivalent Quadripole H.gif
~
h_{11} = \left. \frac{U_1}{I_1} \right|_{U_2 = 0} \quad
h_{12} = \left. \frac{U_1}{U_2} \right|_{I_1 = 0}

~
h_{21} = \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{U_2 = 0} \quad
h_{22} = \left. \frac{I_2}{U_2} \right|_{I_1 = 0}

~Y \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix}
Equivalent Quadripole Y.gif
~
y_{11} = \left. \frac{I_1}{U_1} \right|_{U_2 = 0} \quad
y_{12} = \left. \frac{I_1}{U_2} \right|_{U_1 = 0}

~
y_{21} = \left. \frac{I_2}{U_1} \right|_{U_2 = 0} \quad
y_{22} = \left. \frac{I_2}{U_2} \right|_{U_1 = 0}

~Z \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix}
Equivalent Quadripole Z.gif
~
z_{11} = \left. \frac{U_1}{I_1} \right|_{I_2 = 0} \quad
z_{12} = \left. \frac{U_1}{I_2} \right|_{I_1 = 0}

~
z_{21} = \left. \frac{U_2}{I_1} \right|_{I_2 = 0} \quad
z_{22} = \left. \frac{U_2}{I_2} \right|_{I_1 = 0}

~A \begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} 
~
a_{11} = \left. \frac{U_1}{U_2} \right|_{I_2 = 0} \quad
a_{12} = \left. \frac{U_1}{I_2} \right|_{U_2 = 0}

~
a_{21} = \left. \frac{I_1}{U_2} \right|_{I_2 = 0} \quad
a_{22} = \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{U_2 = 0}

~B \begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} 
~
b_{11} = \left. \frac{U_2}{U_1} \right|_{I_1 = 0} \quad
b_{12} = \left. \frac{U_2}{I_1} \right|_{U_1 = 0}

~
b_{21} = \left. \frac{I_2}{U_1} \right|_{I_1 = 0} \quad
b_{22} = \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{U_1 = 0}

Преобразование параметров[править | править вики-текст]

~H ~Y ~Z ~G ~A
~H

~h_{11}=1/y_{11}
~h_{12}=-y_{12}/y_{11}
~h_{21}=y_{21}/y_{11}
~h_{22}=\Delta_y/y_{11}
~\Delta_h=y_{22}/y_{11}

~h_{11}=\Delta_z/z_{22}
~h_{12}=z_{12}/z_{22}
~h_{21}=-z_{21}/z_{22}
~h_{22}=1/z_{22}
~\Delta_h=z_{11}/z_{22}

~h_{11}=g_{22}/\Delta_g
~h_{12}=-g_{12}/\Delta_g
~h_{21}=-g_{21}/\Delta_g
~h_{22}=g_{11}/\Delta_g
~\Delta_h=1/\Delta_g

~h_{11}=B/D
~h_{12}=\Delta_A/D
~h_{21}=-1/D
~h_{22}=C/D

~Y

~y_{11}=1/h_{11}
~y_{12}=-h_{12}/h_{11}
~y_{21}=h_{21}/h_{11}
~y_{22}=\Delta_h/h_{11}
~\Delta_y=h_{22}/h_{11}

~y_{11}=z_{22}/\Delta_z
~y_{12}=-z_{12}/\Delta_z
~y_{21}=-z_{21}/\Delta_z
~y_{22}=z_{11}/\Delta_z
~\Delta_y=1/\Delta_z

~y_{11}=\Delta_g/g_{22}
~y_{12}=g_{12}/g_{22}
~y_{21}=-g_{21}/g_{22}
~y_{22}=1/g_{22}
~\Delta_y=g_{11}/g_{22}

~y_{11}=D/B
~y_{12}=-\Delta_A/B
~y_{21}=-1/B
~y_{22}=A/B

~Z

~z_{11}=\Delta_h/h_{22}
~z_{12}=h_{12}/h_{22}
~z_{21}=-h_{21}/h_{22}
~z_{22}=1/h_{22}
~\Delta_z=h_{11}/h_{22}

~z_{11}=y_{22}/\Delta_y
~z_{12}=-y_{12}/\Delta_y
~z_{21}=-y_{21}/\Delta_y
~z_{22}=y_{11}/\Delta_y
~\Delta_z=1/\Delta_y

~z_{11}=1/g_{11}
~z_{12}=-g_{12}/g_{11}
~z_{21}=g_{21}/g_{11}
~z_{22}=\Delta_g/g_{11}
~\Delta_z=g_{22}/g_{11}

~z_{11}=A/C
~z_{12}=\Delta_A/C
~z_{21}=1/C
~z_{22}=D/C

~G

~g_{11}=h_{22}/\Delta_h
~g_{12}=-h_{12}/\Delta_h
~g_{21}=-h_{21}/\Delta_h
~g_{22}=h_{11}/\Delta_h
~\Delta_g=1/\Delta_h

~g_{11}=\Delta_y/y_{22}
~g_{12}=y_{12}/y_{22}
~g_{21}=-y_{21}/y_{22}
~g_{22}=1/y_{22}
~\Delta_g=y_{11}/y_{22}

~g_{11}=1/z_{11}
~g_{12}=-z_{12}/z_{11}
~g_{21}=z_{21}/z_{11}
~g_{22}=\Delta_z/z_{11}
~\Delta_g=z_{22}/z_{11}

~g_{11}=C/A
~g_{12}=-\Delta_A/A
~g_{21}=\Delta_A/A
~g_{22}=B/A

~A

A=-\Delta_h/h_{21}
B=h_{11}/h_{21}
C=-h_{22}/h_{21}
D=-1/h_{21}

A=-y_{22}/y_{21}
B=-1/y_{21}
C=-\Delta_y/y_{21}
D=-y_{11}/y_{21}

A=z_{11}/z_{21}
B=\Delta_z/z_{21}
C=1/z_{21}
D=z_{22}/z_{21}

A=1/g_{21}
B=g_{22}/g_{21}
C=g_{11}/g_{21}
D=\Delta_g/g_{21}

Преобразования схем[править | править вики-текст]

Rin, Rout — входное и выходное сопротивления; KI, KU — коэффициенты усиления по току и напряжению.

~
R_{in}=\frac{U_1}{I_1}; \qquad
R_{out}=\frac{U_2}{I_2}; \qquad
K_{I}=\frac{I_2}{I_1}; \qquad
K_{U}=\frac{U_2}{U_1}.

Схема ~H ~Y ~Z ~G
Quadripole 01.gif

~R_{in}=\frac{h_{11}+\Delta_h R}{1+h_{22} R}

~R_{out}=\frac{h_{11}+r}{\Delta_h+h_{22} r}

~K_{I}=\frac{h_{21}}{1+h_{22} R}

~K_{U}=\frac{-h_{21} R}{h_{11}+\Delta_h R}

~R_{in}=\frac{ 1+y_{22} R }{   y_{11}+\Delta_y R   }

~R_{out}=\frac{   1+y_{11} r   }{   y_{22}+\Delta_y r   }

~K_{I}=\frac{   y_{21}   }{   y_{11}+ \Delta_y R    }

~K_{U}=\frac{   -y_{21} R   }{   1+y_{22} R   }

~R_{in}=\frac{   \Delta_z + z_{11} R   }{   z_{22}+R   }

~R_{out}=\frac{   \Delta_z + z_{22} r   }{   z_{22}+r   }

~K_{I}=\frac{   -z_{21}   }{   z_{22}+R    }

~K_{U}=\frac{   z_{21} R   }{   \Delta_z+z_{11} R   }

~R_{in}=\frac{   g_{22}+R   }{   \Delta_g+g_{11} R   }

~R_{out}=\frac{   g_{22}+\Delta_g r   }{   1+g_{11} r   }

~K_{I}=\frac{   -g_{21}   }{   \Delta_g+g_{11} R    }

~K_{U}=\frac{   g_{21} R   }{   g_{22}+R   }

Разновидности четырёхполюсников[править | править вики-текст]

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависят от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсников[править | править вики-текст]

Идеальный трансформатор[править | править вики-текст]

Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):


\begin{cases}
 U_1=h_{12}U_2 \\
 I_2=h_{21}I_1 \\
\end{cases};
\begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 & h_{12} \\ h_{21} & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix}

Гиратор[править | править вики-текст]

Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивления[6]). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:


\begin{cases}
 I_1=y_{12}U_2 \\
 I_2=-y_{21}U_1 \\
\end{cases};
\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 & y_{12} \\ -y_{21} & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix}

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:


Z_{out}=\frac{1} {-Z_{in}y_{21}^2}

Нуллор[править | править вики-текст]

Нуллор (англ.)русск.  — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значения[7]. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1978. — 528 с.
  • Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996. — 638 с.
  • Кисель В.А. Аналоговые и цифровые корректоры. — М.: Радио и связь, 1986. — 184 с.
  • Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники. — М.: Радио и связь, 1989. — 528 с. — ISBN 5-256-00265-1