Числа эпсилон

Числа эпсилон — ординалы, введенные немецким математиком Гергом Кантором и являющиеся неподвижными точками функции $f(\alpha )=\omega ^{\alpha },$ то есть удовлетворяющие равенству $\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },$ где $\omega$ — первый трансфинитный ординал. Числа эпсилон могут быть определены следующим образом (как супремумы трансфинитных последовательностей):

• $\varepsilon _{0}=\sup\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},...\};$
• $\varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}}},...\};$
• $\varepsilon _{\alpha }=\sup\{\varepsilon _{\beta }|\beta <\alpha \}$ для предельного ординала $\alpha .$

Наименьший ординал, который является неподвижной точкой функции $f(\alpha )=\varepsilon _{\alpha },$ называется ординалом Кантора и обозначается как $\zeta _{0}.$

$\zeta _{0}=\sup\{0,\varepsilon _{0},\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}},\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}},...\}.$

Впоследствии, в 1908 году, Освальд Веблен разработал более мощную ординальную нотацию — иерархию функций $\varphi _{\alpha }$. В соответствии с нотацией Веблена $\varepsilon _{\alpha }=\varphi _{1}(\alpha )$.

Ссылки

• J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
• Section XIV.20 of Sierpiński, Wacław (1965), Cardinal and ordinal numbers (Second revised ed.), PWN — Polish Scientific Publishers