Порядковое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Порядковое число, ординал (лат. ordinalis — порядковый) в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

Определение[править | править исходный текст]

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

  • Назовём множество x транзитивным, если каждый элемент x является подмножеством x: \mathrm{Trans}(x)\Leftrightarrow\forall t(t\in x\to t\subseteq x).
  • Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: \mathrm{Ord}(x)\Leftrightarrow\mathrm{Trans}(x)\wedge\forall t(t\in x\to\mathrm{Trans}(t)).

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

Для обозначения порядковых чисел обычно используются строчные греческие буквы \alpha, \beta, \dots. Данная статья придерживается таких обозначений.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если \alpha — порядковое число, то каждый элемент \alpha — порядковое число.
  • Для любых \alpha, \beta выполняется ровно одно из следующих соотношений: \alpha \in \beta, \alpha = \beta, \beta \in \alpha.
  • Любое множество порядковых чисел вполне упорядочено отношением \in (в частности, любое порядковое число, рассматриваемое как множество, вполне упорядочено отношением \in), при этом \bigcap x — наименьший элемент множества x, \bigcup x — порядковое число, большее или равное любому из элементов множества x. Выражения \alpha < \beta и \alpha \in \beta для порядковых чисел эквивалентны. Ниже подразумевается, что порядковые числа сравниваются с помощью отношения \in.
  • Для любого вполне упорядоченного множества x существует единственное порядковое число, изоморфное x (в частности, для любого множества порядковых чисел существует единственное порядковое число, изоморфное ему).
  • Любое \alpha совпадает с множеством всех порядковых чисел, меньших, чем \alpha.
  • Начальный сегмент любого порядкового числа является порядковым числом.
  • Пустое множество \varnothing — наименьшее порядковое число (а значит, оно является элементом любого другого порядкового числа).
  • \alpha называется регулярным (синоним: непредельным), если либо оно равно \varnothing, либо существует непосредственно предшествующее ему \beta; другими словами, если существует \beta < \alpha, но между ними нельзя вставить другое порядковое число \beta < \gamma < \alpha. В последнем случае говорят, что \alpha — порядковое число, следующее за \beta, и пишут: \alpha = \beta \dot+ 1 (иногда просто \alpha = \beta + 1, что оказывается согласованным с обозначением для суммы порядковых чисел).
  • Порядковые числа, не являющиеся непредельными, называются предельными порядковыми числами (иногда \varnothing тоже относят к предельным порядковым числам).
  • \alpha \dot+ 1 = \alpha\cup\{\alpha\}.
  • Множество всех конечных порядковых чисел изоморфно множеству неотрицательных целых чисел, и для них используются такие же обозначения, как для целых чисел. При этом операции сложения, умножения и возведения в степень для порядковых чисел переходят в соответствующие операции для целых чисел. Несколько первых порядковых чисел:
\begin{align}
&0=\varnothing;\\
&1=\{0\}=0\cup\{0\}=\{\varnothing\};\\
&2=\{0,1\}=1\cup\{1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\};\\
&3=\{0,1,2\}=2\cup\{2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\};\\
&\dots
\end{align}
  • Множество всех конечных порядковых чисел обозначается \omega. Оно является наименьшим предельным порядковым числом и наименьшим бесконечным (а именно счётным) порядковым числом. Следующим за ним порядковым числом является \omega \dot+ 1 = \omega\cup\{\omega\}.
  • Условие конечности \alpha можно записать как \alpha < \omega или, что то же самое, \alpha \in \omega.
  • Существует бесконечное множество порядковых чисел, но не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.
  • Каждое множество порядковых чисел A ограничено сверху и имеет точную верхнюю грань, которая обозначается \sup A. При этом A \subseteq \sup A.
  • Если \alpha — предельное порядковое число или \varnothing, то \sup \alpha = \alpha, иначе \sup \alpha < \alpha.
  • Точная верхняя грань счётного множества счётных порядковых чисел счётна.
  • Каждое порядковое число имеет единственное представление в нормальной форме Кантора (англ.).

Арифметика порядковых чисел[править | править исходный текст]

Определения операций[править | править исходный текст]

  • Сумма порядковых чисел рекурсивно определяется следующим образом:
\begin{align}
&\alpha + 0 = \alpha\\
&\alpha + (\beta \dot+ 1) = (\alpha + \beta) \dot+ 1\\
&\alpha + \gamma = \sup \{ \alpha + \beta | \beta < \gamma \},
\end{align}
где третье правило применяется в случае, когда \gamma является предельным порядковым числом.
  • Используя те же обозначения, определим операцию умножения:
\begin{align}
&\alpha \cdot 0 = 0\\
&\alpha \cdot (\beta \dot+ 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha\\
&\alpha \cdot \gamma = \sup \{ \alpha \cdot \beta \mid \beta < \gamma \}.
\end{align}
  • Используя те же обозначения, определим операцию возведения в степень:
\begin{align}
&\alpha^0 = 1\\
&\alpha^{\beta \dot+ 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha\\
&\alpha^\gamma = \sup \{ \alpha^\beta \mid \beta < \gamma \}.
\end{align}

Свойства операций[править | править исходный текст]

  • Сложение порядковых чисел некоммутативно; в частности, 1 + \omega = \omega \ne \omega + 1.
  • Сложение порядковых чисел ассоциативно: \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma,\, что позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок.
  • Сумма возрастает при росте правого слагаемого и не убывает при росте левого слагаемого: из \beta_1 > \beta_2\, следует \alpha + \beta_1 > \alpha + \beta_2\, и \beta_1 + \alpha \geqslant \beta_2 + \alpha.
  • Если \alpha \geqslant \beta, то существует единственный ординал \,\gamma, для которого \beta + \gamma = \alpha.\,
  • Умножение порядковых чисел некоммутативно; в частности, 2 \cdot \omega = \omega \ne \omega \cdot 2.
  • Умножение порядковых чисел ассоциативно: \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma, что позволяет записывать произведение нескольких сомножителей без скобок.
  • Для сложения и умножения выполняется левая дистрибутивность: \alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma.
  • \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha.\,
  • \alpha + 1 = \alpha \dot+ 1.
  • \alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha + \omega = \omega.
  • \alpha \cdot 0 = 0 \cdot \alpha = 0.
  • \alpha \cdot 1 = 1 \cdot \alpha = \alpha.
  • \alpha \in \omega \land \alpha \ne 0 \leftrightarrow \alpha \cdot \omega = \omega.
  • \alpha + \beta = 0 \leftrightarrow \alpha = 0 \land \beta = 0.
  • \alpha \cdot \beta = 0 \leftrightarrow \alpha = 0 \lor \beta = 0.
  • \alpha^0 = 1.\,
  • \alpha^1 = \alpha.\,
  • \alpha \ne 0 \leftrightarrow 0^\alpha = 0.
  • 1^\alpha = 1.\,
  • \alpha \in \omega \land \alpha > 1 \leftrightarrow \alpha^\omega = \omega.
  • \alpha^\beta \cdot \alpha^\gamma = \alpha^{\beta + \gamma}.
  • (\alpha^\beta)^\gamma = \alpha^{\beta \cdot \gamma}.
  • \alpha > 1 \land \beta > \gamma \leftrightarrow \alpha^\beta > \alpha^\gamma.
  • \beta \in \omega \to \alpha + \beta = \alpha \underbrace{\dot+ 1 \dot+ 1 \dot+ \dots \dot+ 1}_\beta.
  • \beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta = 0 \underbrace{+\alpha+\alpha+\dots+\alpha}_\beta.
  • \beta \in \omega \to \alpha^\beta = 1 \underbrace{\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha}_\beta.
  • В случае конечности аргументов сложение, умножение и возведение в степень переходят в соответствующие операции для целых чисел (с конечными результатами).
  • В случае счётности аргументов результаты сложения, умножения и возведения в степень также являются счётными.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]