Порядковое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

[править] Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

Назовём множество транзитивным, если каждый элемент $x$ является подмножеством $x$ : $\mathrm{Trans}(x) \Leftrightarrow \forall t (t \in x \rightarrow t \subseteq x)$ .
Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: $\mathrm{Ord}(x) \Leftrightarrow \mathrm{Trans}(x) \wedge \forall t (t \in x \rightarrow \mathrm{Trans}(t))$ .

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

[править] Свойства

Если $α$ — порядковое число, то каждый элемент $α$ — порядковое число.
$\varnothing$ — порядковое число.
Если $α$ — порядковое число, то $\alpha \cup \{ \alpha \}$ — порядковое число (терм $\alpha \cup \{ \alpha \}$ обозначают при этом как $α + 1$ ). Ординалы, совпадающие с $α + 1$ для некоторого $α$ , называются непредельными ординалами, в отличие от предельных.
Множество натуральных чисел $ω$ — порядковое число, множества $ω + 1$ , $ω + 2$ , $ω + ω$ , … — порядковые числа.
Всякое множество $x$ порядковых чисел вполне упорядочено по отношению $\in$ , при этом $\bigcap x$ — наименьший элемент любого множества порядковых чисел, $\bigcup x$ — порядковое число, большее или равное любому из чисел во множестве $x$ .
Не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.