Октаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Правильный октаэдр»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Правильный октаэдр
(вращающаяся модель)
(вращающаяся модель)
Тип правильный многогранник
Комбинаторика
Элементы
8 граней
12 рёбер
6 вершин
Χ = 2
Грани правильные треугольники
Конфигурация вершины 4.4.4
Двойственный многогранник куб
Классификация
Обозначения
  • O
  • aT
Символ Шлефли
  • или
Символ Витхоффа[англ.] 4 | 2 3
Диаграмма Дынкина node4node3node_1
Группа симметрии
Группа вращения
Количественные данные
Двугранный угол
Телесный угол при вершине ср
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе
Описанная сфера октаэдра

Окта́эдр (греч. οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание») — многогранник с восемью гранями.

Пра́вильный окта́эдр является одним из пяти выпуклых правильных многогранников[1], так называемых платоновых тел; его грани — восемь равносторонних треугольников. Правильный октаэдр:

Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр.

Правильный октаэдр

[править | править код]

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

двугранный угол: , где .

Радиус полувписанной сферы, которая касается всех рёбер, равен

Ортогональные проекции

[править | править код]

Октаэдр имеет четыре специальные ортогональных проекции, центрированные ребром, вершиной, гранью и нормалью к грани. Второй и третий случай соответствуют плоскостям Коксетера B2 и A2.

Ортогональные проекции
Центрированы Ребром Нормалью
к грани
Вершиной Гранью
Образ
Проективная
симметрия
[2] [2] [4] [6]

Сферическая мозаика

[править | править код]

Октаэдр можно представить, как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.


треугольно-центрированная
Ортогональная проекция Стереографическая проекция

Декартовы координаты

[править | править код]

Октаэдр с длиной ребра может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координаты вершин тогда будут

(±1, 0, 0);
(0, ±1, 0);
(0, 0, ±1).

В x-y-z прямоугольной системе координат октаэдр с центром в точке (a, b, c) и радиусом r — это множество всех точек (x, y, z), таких, что

Площадь и объём

[править | править код]

Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра a равна

Объём октаэдра (V) вычисляется по формуле:

Таким образом, объём октаэдра в четыре раза больше объёма тетраэдра с той же длиной ребра, в то время как площадь поверхности вдвое больше (поскольку поверхность состоит из 8 треугольников, а у тетраэдра — из четырёх).

Если октаэдр растянуть, чтобы выполнялось равенство:

формулы для поверхности и объёма превращаются в:

Кроме того, тензор моментов инерции растянутого октаэдра будет равен:

Он сводится к уравнению для правильного октаэдра, когда:

Геометрические связи

[править | править код]
Октаэдр представляет собой пересечение двух тетраэдров

Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных тетраэдров является октаэдром, а сама эта конфигурация называется звёздчатым октаэдром (лат.: stella octangula). Конфигурация является единственной звёздчатой формой октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть полного усечения тетраэдра). Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, как кубооктаэдр и икосододекаэдр связаны с остальными платоновыми телами. Можно разделить рёбра октаэдра в отношении золотого сечения для определения вершин икосаэдра. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами. Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

Октаэдры и тетраэдры[англ.] можно чередовать, чтобы построить однородные относительно вершин, рёбер и граней соты, которые Фуллер назвал октетной связкой[англ.]. Это единственные соты, позволяющие регулярную укладку в кубе, и они являются одним из 28 видов выпуклых однородных сот[англ.].

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона, октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой. Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде[англ.].

Октаэдр является 4-связным. Это значит, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся. Это один из всего лишь четырёх 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что означает, что все наибольшие независимые множества вершин имеют один и тот же размер. Другие три многогранника с этим свойством — пятиугольная бипирамида, плосконосый двуклиноид и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями[2].

  • Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
  • Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
  • В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия

[править | править код]

Имеется 3 однородных раскрашивания[англ.] октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

Группой симметрии октаэдра является Oh с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа[англ.]. В подгруппы этой группы входят D3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы, D4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды, и Td (порядка 24), группа симметрии полностью усечённого тетраэдра. Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.

Название Октаэдр Полностью
усечённый

тетраэдр
(Тетратетраэдр)
Треугольная антипризма Квадратная бипирамида Ромбическая бипирамида
Рисунок
(Раскраска граней)

(1111)

(1212)

(1112)

(1111)

(1111)
Диаграмма Коксетера node_13node4node node_13node4node_h0 = node_1split1nodes node_h2xnode_h6node
node_h2xnode_h3node_h
node_f12xnode_f14node node_f12xnode_f12xnode_f1
Символ Шлефли {3,4} r{3,3} s{2,6}
sr{2,3}
ft{2,4}
{ } + {4}
ftr{2,2}
{ } + { } + { }
Символ Витхоффа[англ.] 4 | 3 2 2 | 4 3 2 | 6 2
| 2 3 2
Симметрия Oh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332) D3d, [2+,6], (2*3)
D3, [2,3]+, (322)
D4h, [2,4], (*422) D2h, [2,2], (*222)
Порядок 48 24 12
6
16 8

Существует одиннадцать вариантов развёртки октаэдра[3].

Двойственность

[править | править код]

Октаэдр двойственен кубу.

Однородный тетрагемигексаэдр является огранкой с тетраэдральной симметрией правильного октаэдра, сохраняющая расположение рёбер[англ.] и вершин[англ.]. Огранка имеет четыре треугольных грани и 3 центральных квадрата.


Октаэдр

тетрагемигексаэдр

Неправильные октаэдры

[править | править код]

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Они все имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать рёбер, что соответствует один к одному параметрам правильного октаэдра.

  • Треугольные антипризмы — две грани представляют собой равносторонние треугольники, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные.
  • Четырёхугольные бипирамиды, в которых по меньшей мере один экваториальный четырёхугольник лежит в плоскости. Правильный октаэдр является специальным случаем, когда все три четырёхугольника являются плоскими квадратами.
  • Многогранник Шёнхардта, невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.

Другие выпуклые восьмигранники

[править | править код]
Шестиугольная
призма
Усечённый
тетраэдр
Четырёхугольный
трапецоэдр

В общем случае, октаэдром может называться любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер, минимальное число для октаэдра. Неправильные восьмигранники могут иметь до 12 вершин и 18 рёбер[3][4]. Существует 257 топологически различных выпуклых восьмигранников, исключая зеркальные копии[3]. В частности, имеется 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранников с числом вершин от 6 до 12 соответственно[5][6]. (Два многогранника «топологически различны», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что нет возможности преобразовать одно тело в другое просто изменением длины рёбер или углов между рёбрами или гранями.)

Некоторые известные неправильные восьмигранники:

  • Шестиугольная призма: Две грани являются параллельными правильными шестиугольниками, шесть квадратов соединяют соответствующие пары сторон шестиугольников.
  • Семиугольная пирамида: Одна грань является семиугольником (обычно правильным), а оставшиеся семь граней являются треугольниками (обычно равнобедренными). Невозможно добиться, чтобы все треугольные грани были равносторонними.
  • Усечённый тетраэдр: Четыре грани тетраэдра усекаются до правильных шестиугольников и образуются три дополнительные равносторонние треугольные грани на месте отсечённых вершин.
  • Четырёхугольный трапецоэдр: Восемь граней конгруэнтны дельтоидам.

Октаэдры в физическом мире

[править | править код]

Октаэдры в природе

[править | править код]
Октаэдр флюорита

Октаэдры в искусстве и культуре

[править | править код]
Две одинаково сложенные змейки Рубика могут аппроксимировать октаэдр.
  • В играх игральная кость в виде октаэдра известна как «d8».
  • Если каждое ребро октаэдра заменить одноомным резистором, общее сопротивление между противоположными вершинами будет составлять 1/2 ома, а между смежными вершинами — 5/12 ома[8].
  • Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро представляет созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.
  • Противотанковый ёж имеет форму трёх диагоналей октаэдра.

Тетраэдральная связка

[править | править код]

Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров изобретён Фуллером в 1950-х и он известен как пространственная рама[англ.] и считается прочнейшей структурой, сопротивляющейся напряжениям консольной балки.

Связанные многогранники

[править | править код]

Правильный октаэдр можно увеличить до тетраэдра добавлением четырёх тетраэдров на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем восьми граням образует звёздчатый октаэдр.

тетраэдр звёздчатый октаэдр

Октаэдр принадлежит семейству однородных многогранников, связанных с кубом.

Однородные октаэдральные многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)[англ.] [4,3]+, (432) [3+,4], (3*2)
node_14node3node node_14node_13node node4node_13node node4node_13node_1 node4node3node_1 node_14node3node_1 node_14node_13node_1 node_h4node_h3node_h node_h3node_h4node
{4,3} t{4,3} r{4,3} t{3,4} {3,4} rr{4,3} tr{4,3} sr{4,3} s{3,4}
Двойственные многогранники
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V35

Он также является одним из простейших примеров гиперсимплекса[англ.], многогранника, образованного определённым пересечением гиперкуба с гиперплоскостью.

Октаэдр входит в последовательность многогранников с символом Шлефли {3,n}, продолжающейся на гиперболическую плоскость.

*n32 симметрии правильных мозаик: 3n or {3,n}
Сферическая Евклидова Компактная гипербол. Пара-
компактная
Некомпактная гиперболическая
3.3 33 34 35 36 37 38 3 312i 39i 36i 33i

Тетратетраэдр

[править | править код]

Правильный октаэдр можно рассматривать как полностью усечённый тетраэдр и может быть назван тетратетраэдром. Это можно показать с помощью раскрашенной в два цвета модели. При этом раскрашивании октаэдр имеет тетраэдральную симметрию.

Сравнение последовательности усечения тетраэдра и его двойственной фигуры:

Семейство однородных тетраэдральных многогранников
Симметрия: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
node_13node3node node_13node_13node node3node_13node node3node_13node_1 node3node3node_1 node_13node3node_1 node_13node_13node_1 node_h3node_h3node_h
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Двойственные многогранники
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Вышеприведённые тела можно понимать как срезы, ортогональные к длинной диагонали тессеракта. Если расположить эту диагональ вертикально с высотой 1, то первые пять сечений сверху будут на высотах r, 3/8, 1/2, 5/8 и s, где r — любое число в интервале (0,1/4], а s — любое число в интервале [3/4,1).

Октаэдр в качестве тетратетраэдра существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурацией вершин (3.n)2, проходя от мозаик на сфере к евклидовой плоскости, а затем в гиперболическую плоскость. В орбифолдной нотации[англ.] симметрии *n32 все эти мозаики являются построениями Витхоффа внутри фундаментальной области симметрии с генерирующими точками на прямом угле области[9][10].

*n32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.n)2

Построение
Сферическая Евклидова Гиперболическая
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Квазирегулярные
фигуры
Вершина (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.∞)2

Треугольная антипризма

[править | править код]

В качестве треугольной антипризмы октаэдр связан с семейством шестиугольной диэдральной симметрии.

Однородные шестиугольные диэдральные сферические многогранники
Симметрия: [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [6,2+], (2*3)
node_16node2node node_16node_12node node6node_12node node6node_12node_1 node6node2node_1 node_16node2node_1 node_16node_12node_1 node_h6node_h2xnode_h node6node_h2xnode_h
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{2,6} tr{6,2}[англ.] sr{6,2} s{2,6}
Двойственные им многогранники
V62 V122 V62 V4.4.6[англ.] V26 V4.4.6[англ.] V4.4.12 V3.3.3.6[англ.] V3.3.3.3
Семейство однородных антипризм n.3.3.3
Многогранник
Мозаика
Конфигурация V2.3.3.3 3.3.3.3 4.3.3.3 5.3.3.3 6.3.3.3 7.3.3.3 8.3.3.3 9.3.3.3 10.3.3.3 11.3.3.3 12.3.3.3 ...∞.3.3.3

Квадратная бипирамида

[править | править код]
Семейство бипирамид
Многогранник
Мозаика
Конфигурация V2.4.4 V3.4.4 V4.4.4 V5.4.4 V6.4.4 V7.4.4 V8.4.4 V9.4.4 V10.4.4 ...V∞.4.4

Примечания

[править | править код]
  1. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010, с. 894–912.
  3. 1 2 3 Weisstein, Eric W. Octahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Steven Dutch. Enumeration of Polyhedra. Дата обращения: 8 ноября 2015. Архивировано из оригинала 10 октября 2011 года.
  5. Counting polyhedra. Дата обращения: 8 ноября 2015. Архивировано 6 мая 2016 года.
  6. Архивированная копия. Дата обращения: 14 августа 2016. Архивировано 17 ноября 2014 года.
  7. Смольянинов Н. А. Практическое руководство по минералогии. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Недра, 1972. — С. 39. — 27 000 экз.
  8. Klein, 2002, с. 633–649.
  9. Williams, 1979.
  10. Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson

Литература

[править | править код]