Гипотеза Андре — Оорта
Гипотеза Андре — Оорта — проблема в теории чисел, которая обобщает гипотезу Манина — Мамфорда[англ.]. Начальную версию гипотезы высказал Ив Андре в 1989[1], а более общую версию высказал Франс Оорт в 1995[2]. Современная версия является обобщением этих двух гипотез. Имеется опубликованное в форме препринта доказательство гипотезы.
Утверждение[править | править код]
Гипотеза в современном виде выглядит следующим образом. Пусть S является многообразием Симуры и пусть V является множеством специальных точек в S. Тогда неприводимые компоненты топологии Зарисского множества V являются специальными подмногообразиями.
Первая версия Андре гипотезы была просто для одномерных многообразий Симуры, в то время как Оорт предположил, что это должно работать с подмногообразиями пространства модулей главнополяризованных абелевых многообразий размерности g.
Частичные результаты[править | править код]
Различные результаты были установлены в направлении доказательства полной гипотезы среди других Беном Мооненом, Ивом Андре, Андреем Яфаевым, Басом Эдиксховеном, Лореном Клозелом и Эммануэлем Уллмо. Большинство этих результатов предполагают, что обобщённая гипотеза Римана верна. Самый большой результат, не предполагающий верности гипотезы Римана, появился в 2009, когда Джонатан Пайла использовал технику o-минимальной[англ.] геометрии и теории трансцендентных чисел, чтобы доказать гипотезу для произвольных произведений модулярных кривых[3][4], за что ему была вручена в 2011 исследовательская премия Клэя[5].
В препринте 2021 года Джонатан Пайла[англ.], Анант Шанкар и Яков Цимерман привели доказательство гипотезы Андре — Оорта[6].
Обобщения[править | править код]
Так же, как гипотезу Андре — Оорта можно рассматривать как обобщение гипотезы Манина — Мамфорда, саму гипотезу Андре — Оорта можно обобщить. Обычно рассматривается обобщение Зильберта — Пинка, которое комбинирует обобщение гипотезы Андре — Оорта, предложенное Ричардом Пинком[7], и гипотезу Бориса Зильбера[8][9].
Примечания[править | править код]
- ↑ André, 1989.
- ↑ Oort, 1997.
- ↑ Pila, 2009, с. 2476–2507.
- ↑ Pila, 2011, с. 1779–1840.
- ↑ Clay Research Award website Архивировано 26 июня 2011 года.
- ↑ Sloman, Leila Mathematicians Prove 30-Year-Old André-Oort Conjecture (англ.). Quanta Magazine (3 февраля 2022). Дата обращения: 5 февраля 2022. Архивировано 4 февраля 2022 года.
- ↑ Pink, 2005, с. 251–282.
- ↑ Zilber, 2002, с. 27–44.
- ↑ Rémond, 2009, с. 405–414.
Литература[править | править код]
- Yves André. G-functions and geometry. — Vieweg, 1989. — Т. E13. — (Aspects of Mathematics).
- Frans Oort. Canonical liftings and dense sets of CM points // Arithmetic Geometry / Fabrizio Catanese. — Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
- Jonathan Pila. Rational points of definable sets and results of André–Oort–Manin–Mumford type // Int. Math. Res. Not. IMRN. — 2009. — № 13. — С. 2476–2507.
- Jonathan Pila. O-minimality and the André–Oort conjecture for Cn // Annals of Mathematics. — 2011. — Т. 173. — С. 1779–1840. — doi:10.4007/annals.2011.173.3.11.
- Richard Pink. A combination of the conjectures of Mordell–Lang and André–Oort // Geometric methods in algebra and number theory. — Birkhauser, 2005. — Т. 253. — С. 251–282. — (Progress in Mathematics).
- Boris Zilber. Exponential sums equations and the Schanuel conjecture // J. London Math. Soc.. — 2002. — Т. 65, № 2. — С. 27–44. — doi:10.1112/S0024610701002861.
- Gaël Rémond. Autour de la conjecture de Zilber–Pink (фр.) // J. Théor. Nombres Bordeaux. — 2009. — Т. 21, № 2. — С. 405–414. — doi:10.5802/jtnb.677.
- Zannier, Umberto. About the André–Oort conjecture // Some Problems of Unlikely Intersections in Arithmetic and Geometry. — Princeton : Princeton University Press, 2012. — P. 96–127. — ISBN 978-0-691-15370-4.