Гипотеза Каталана

Гипо́теза Катала́на (теорема Михэйлеску) — теоретико-числовое утверждение, согласно которому уравнение:

$x^{a}-y^{b}=1\quad (x,y,a,b>1)$

имеет единственное решение в натуральных числах: $x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3$. Иными словами, кроме $2^{3}=8$ и $3^{2}=9$ не существует других последовательных совершенных степеней натуральных чисел.

Сформулирована Эженом Каталаном в 1844 году, доказана в 2002 году Предой Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu).

Обобщением гипотезы Каталана является гипотеза Пиллаи, недоказанная по состоянию на 2023 год.

Литература

• В. Сендеров, Б. Френкин. «Гипотеза Каталана». — Квант, 2007. — № 4.
• Jeanine Daems. A cyclotomic proof of Catalan's conjecture.
• Yuri F. Bilu. Catalan's conjecture (after Mihailescu). — 2002.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Catalan's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.