Двойственное пространство

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Линейно-сопряжённое пространство — определение

Пространство всех линейных функционалов на $E$ образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к $E$, оно обычно обозначается $E^{*}$.

Свойства

• В конечномерном случае сопряжённое пространство $E^{*}$ имеет ту же размерность, что и пространство $E$.
• Если пространство $E$ евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между $E$ и $E^{*}$.
• Если пространство $E$ гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между $E$ и $E^{*}$.
• В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому $E^{**}$, совпадает с $E$ (точнее, существует канонический изоморфизм между $E$ и $E^{**}$).

Обозначения

В конечномерном случае обычно элементы пространства $E$ обозначают вектором-столбцом, а элементы $E^{*}$ — вектором-строкой ^{[источник?]}. В тензорном исчислении применяется обозначение $x^{k}$ для элементов $E$ (верхний, или контравариантный индекс) и $x_{k}$ для элементов $E^{*}$ (нижний, или ковариантный индекс).

Вариации и обобщения

• В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство ${\bar {E}}$, совпадающее с $E$ как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

  ${\bar {c}}{\bar {x}}={\overline {cx}}$

  • При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно- и комплексно-сопряжённые пространства совпадают.