Дополнительный код (представление числа)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дополнительный код (англ. two’s complement, иногда twos-complement) — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, чем упрощает архитектуру ЭВМ. В англоязычной литературе обратный код называют первым дополнением, а дополнительный код называют вторым дополнением.

Дополнительный код для отрицательного числа можно получить инвертированием его двоичного модуля (первое дополнение) и прибавлением к инверсии единицы (второе дополнение), либо вычитанием числа из нуля.

Дополнительный код (второе дополнение) двоичного числа получается добавлением 1 к младшему значащему разряду его первого дополнения. [1]

Второе дополнение двоичного числа определяется как величина, полученная вычитанием числа из наибольшей степени двух (из 2N для N-битного второго дополнения).

Представление отрицательного числа в дополнительном коде[править | править вики-текст]

При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее с прямым кодом.

Двоичное 8-разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах, равно .

Примеры:

Десятичное
представление
Двоичное представление (8 бит)
прямой обратный дополнительный
127        0111 1111        0111 1111        0111 1111       
1        0000 0001        0000 0001        0000 0001       
0        0000 0000        0000 0000        0000 0000       
-0        1000 0000        1111 1111        ---       
-1        1000 0001        1111 1110        1111 1111       
-2        1000 0010        1111 1101        1111 1110       
-3        1000 0011        1111 1100        1111 1101       
-4        1000 0100        1111 1011        1111 1100       
-5        1000 0101        1111 1010        1111 1011       
-6        1000 0110        1111 1001        1111 1010       
-7        1000 0111        1111 1000        1111 1001       
-8        1000 1000        1111 0111        1111 1000       
-9        1000 1001        1111 0110        1111 0111       
-10        1000 1010        1111 0101        1111 0110       
-11        1000 1011        1111 0100        1111 0101       
-127        1111 1111        1000 0000        1000 0001       
-128        ---        ---        1000 0000       

Дополнительный код для десятичных чисел[править | править вики-текст]

Тот же принцип можно использовать и в компьютерном представлении десятичных чисел: для каждого разряда цифра X заменяется на 9−X, и к получившемуся числу добавляется 1. Например, при использовании четырёхзначных чисел −0081 заменяется на 9919 (9919+0081=0000, пятый разряд выбрасывается).

При применении той же идеи к привычной 10-тичной системе счисления получится (например, для гипотетического процессора, использующего 10-тичную систему счисления):

10-тичная система счисления
("обычная" запись)
10-тичная система счисления,
дополнительный код
... ...
13 0013
12 0012
11 0011
10 0010
9 0009
8 0008
... ...
2 0002
1 0001
0 0000
-1 9999
-2 9998
-3 9997
-4 9996
... ...
-9 9991
-10 9990
-11 9989
-12 9988
... ...

Преобразование в дополнительный код[править | править вики-текст]

Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.

  1. Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 0, то число положительное и никаких преобразований не делается;
  2. Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 1, то число отрицательное, все разряды числа, кроме знакового, инвертируются, а к результату прибавляется 1.

Пример. Преобразуем отрицательное число −5, записанное в прямом коде, в дополнительный код. Прямой код отрицательного числа -5:

1101 

Инвертируем все разряды числа, кроме знакового, получая таким образом обратный код (первое дополнение) отрицательного числа -5:

1010

Добавим к результату 1, получая таким образом дополнительный код (второе дополнение) отрицательного числа -5:

1011

Для преобразования отрицательного числа -5, записанного в дополнительном коде, в положительное число 5, записанное в прямом коде, используется похожий алгоритм. А именно:

1011

Инвертируем все разряды отрицательного числа -5, получая таким образом положительное число 4 в прямом коде:

0100

Добавив к результату 1 получим положительное число 5 в прямом коде:

0101

И проверим, сложив с дополнительным кодом

 0101 + 1011 = 10000, пятый разряд выбрасывается.

p-адические числа[править | править вики-текст]

В системе p-адических чисел изменение знака числа осуществляется преобразованием числа в его дополнительный код. Например, если используется 5-ричная система счисления, то число, противоположное 00015 (110), равно 44445 (−110).

Реализация алгоритма преобразования в дополнительный код (для 8-битных чисел)[править | править вики-текст]

Pascal[править | править вики-текст]

if a<0
  then a:=((not a) or 128) + 1;

C/C++[править | править вики-текст]

int convert(int a) {
  if (a < 0)
    a = ( ~-a|128 ) + 1;
  return a;
}

Преимущества и недостатки[править | править вики-текст]

Преимущества[править | править вики-текст]

  • Общие инструкции (процессора) для сложения, вычитания и левого сдвига для знаковых и беззнаковых чисел (различия только в арифметических флагах, которые нужно проверять для контроля переполнения в результате).
  • Отсутствие числа «минус ноль».

Недостатки[править | править вики-текст]

  • Представление отрицательного числа не читается по обычным правилам, для его восприятия нужен особый навык или вычисления
  • В некоторых представлениях (например, двоично-десятичный код) или их составных частях (например, мантисса числа с плавающей запятой) дополнительное кодирование неудобно
  • Модуль наибольшего числа не равен модулю наименьшего числа. Например, для восьмибитного целого со знаком, максимальное число: 12710 = 011111112, минимальное число: -12810 = 100000002. Соответственно, не для любого числа существует противоположное. Операция изменения знака может потребовать дополнительной проверки.

Пример программного преобразования[править | править вики-текст]

Если происходит чтение данных из файла или области памяти, где они хранятся в двоичном дополнительном коде (например, файл WAVE), может оказаться необходимым преобразовать байты. Если данные хранятся в 8 битах, необходимо, чтобы значения 128-255 были отрицательными.

C# .NET / C style[править | править вики-текст]

byte b1 = 254; //11111110 (бинарное)
byte b2 = 121; //01111001 (бинарное)
byte c = 1<<(sizeof(byte)*8-1);  //2 возводится в степень 7. Результат: 10000000 (бинарное)
byte b1Conversion=(c ^ b1) - c;  //Результат: -2. А фактически, двоичный дополнительный код.
byte b2Conversion=(c ^ b2) - c;  //Результат остаётся 121, потому что знаковый разряд - ноль.

Расширение знака[править | править вики-текст]

Расширение знака (англ. Sign extension) — операция над двоичным числом, которая позволяет увеличить разрядность числа с сохранением знака и значения. Выполняется добавлением цифр со стороны старшего значащего разряда. Если число положительное (старший разряд равен 0), то добавляются нули, если отрицательное (старший разряд равен 1) — единицы.

Пример[править | править вики-текст]

Десятичное число Двоичное число

(8 разрядов)

Двоичное число

(16 разрядов)

10 0000 1010 0000 0000 0000 1010
−15 1111 0001 1111 1111 1111 0001

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Behrooz Parhami. 2.3. Complement Representation, 2.4. Two's- and 1's-complement numbers // Computer Arithmetic: Algorithms and Hardware Designs. — New York: Oxford University Press, 2000. — P. 22-27. — 510 p. — ISBN 0-19-512583-5.
  • Самофалов К.Г., Романкевич А.М., Валуйский В.Н., Каневский Ю.С., Пиневич М.М. Прикладная теория цифровых автоматов. — К.: Вища школа, 1987. — 375 с.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. К.Г.Жуков "Справочное руководство пользователя Fixed-Point Blockset" 1.2. Понятие прямого, обратного и дополнительного кодов, Определение 3. Архивировано из первоисточника 23 июня 2012.