Задача о назначении целей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача о назначении целей — это класс задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в нахождении оптимального распределения комплекта различного вооружения для поражения целей для нанесения максимального поражения противнику.

Основная задача формулируется следующим образом:

Имеется i = 1, \ldots, m видов вооружения и для каждого вида i имеется  W_{i } единиц техники. Есть  j = 1, \ldots, n целей, каждая имеет значение  V_{j} . Любая единица техники может быть назначена на любую цель. Каждый вид техники имеет определённую вероятность поражения каждой цели, задаваемую матрицей  p_{ij} .

Замечено, что в этой задаче, в отличие от классической задачи о назначениях или обобщенной задачи о назначениях, для каждой работы (то есть цели) может быть использовано более одного исполнителя (то есть вида техники) и не обязательно все цели должны быть обстреляны. Таким образом, задача о назначении целей позволяет сформулировать задачу оптимального назначения в случае, когда требуется кооперация агентов. Кроме того, постановка позволяет использовать вероятностный подход.

Существуют статическая и динамическая версии задачи о назначениях. В статическом варианте оружие применяется против цели только один раз. В динамическом варианте орудия применяются несколько раз, каждый раунд происходит переназначение целей в зависимости от результатов предыдущего раунда. Хотя большая часть исследований посвящена статической задаче, внимание к динамической версии растёт.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Задача о назначении целей часто формулируется в виде следующей нелинейной задачи целочисленного программирования:

\min \sum_{j = 1}^n \left ( V_{j}\prod_{i = 1}^m q_{ij}^{x_{ij}} \right )

при условиях

\sum_{j = 1}^n x_{ij}\leq W_i для  i = 1, \ldots, m, \,
где x_{ij} — целые неотрицательные числа для  i = 1, \ldots, m и j = 1, \ldots, n.

Здесь переменная x_{ij} представляет назначение группы орудий типа i для цели j и q_{ij} является вероятностью выживания ( 1 - p_{ij} ). Первое ограничение требует, чтобы число назначенных орудий не превышало число имеющихся. Второе ограничение требует целочисленность решения.

Замечено, что минимизация ожидаемого выживания эквивалентна максимизации ожидаемого разрушения.

Алгоритмы и обобщения[править | править вики-текст]

Давно известно, что задачи о назначениях NP-сложны. Несмотря на это, точное решение может быть найдено с помощью метода ветвей и границ использующего ослабление задачи. Предложено много эвристических алгоритмов, дающих близкое к оптимальному решение за полиномиальное время[1].

Пример[править | править вики-текст]

Командир имеет 5 танков, 2 самолета и одно морское судно, и ему приказано уничтожить три цели со значениями 5, 10 и 20. Каждый вид вооружения способен поразить цели со следующей вероятностью:

Вид вооружения  V_{1} = 5  V_{2} = 10  V_{3} = 20
Танк 0,3 0,2 0,05
Самолет 0,1 0,6 0,5
Судно 0,4 0,5 0,4

Годным решением будет назначить цель с максимальным значением (3) для судна и самолёта. В результате ожидаемое выживание цели равно  20(0,6)(0,5)= 6 . Оставшийся самолёт и два танка можно назначить на цель 2, получив ожидаемое выживание  10 (0,4)(0,8)^2 = 2,56 . И, наконец, оставшиеся 3 танка послать на цель 1, и ожидаемое выживание этой цели будет  5 (0,7)^3 = 1,715 . В результате мы имеем суммарное ожидание выживания  6 + 2,56 + 1,715 = 10,275 .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ahuja, R. et al. Exact and Heuristic Algorithms for the Weapon-Target Assignment Problem. Operations Research 55(6), pp. 1136—1146, 2007

Литература[править | править вики-текст]