Квантовый дилогарифм
Квантовый дилогарифм — это специальная функция, определяемая формулой
В терминах q-экспоненты[англ.] имеем .
Пусть — «q-коммутирующие переменные», являющиеся элементами некоторой некоммутативной алгебры и удовлетворяющие отношению Вейля [1]. Тогда квантовый дилогарифм удовлетворяют тождеству Шютценбергерже[2]
тождеству Фаддеева — Волкова[3]
и тождеству Фаддеева — Кашаева[4]
Последнее тождество является квантовым обобщением пятичленного тождества Роджерса.
Квантовый дилогарифм Фаддеева определяется следующей формулой:
- ,
где контур интегрирования обходит сингулярность при t = 0 сверху[5]. Та же функция может быть описана с помощью интегральной формулы Вороновича
Людвиг Дмитриевич Фаддеев обнаружил квантовое пятичленное тождество
где и — самосопряжённые[англ.] (нормализованные) операторы квантового механического импульса и положения, удовлетворяющие соотношению неопределённости Гейзенберга
и обратное отношение
Квантовый дилогарифм находит приложение в математической физике, квантовой топологии[англ.] и теории кластерных алгебр[англ.].
Точная связь между q-показательной функцией[англ.] и выражается тождеством
- ,
которое выполняется при Im .
Примечания
[править | править код]- ↑ Фаддеев, 2011, с. 65.
- ↑ Написание Шютценбергерже взято из статьи Фаддеева.
- ↑ Фаддеев, 2011, с. 65, формула (4).
- ↑ Фаддеев, 2011, с. 65-66, формула (5).
- ↑ Фаддеев, 2011, с. 67, формула (13).
Литература
[править | править код]- Фаддеев Л.Д. Пентагон Волкова для модулярного квантового дилогарифма // Функц. анализ и его прил.. — 2011. — Т. 45, вып. 4. — С. 65–71.
- Faddeev L. D. Currentlike variables in massive and massless integrable models // Quantum groups and their applications in physics (Varenna, 1994), Proc. Internat. School Phys. Enrico Fermi, 127, IOS. — Amsterdam, 1996. — С. 117–135.
- Faddeev L. D. Discrete Heisenberg-Weyl group and modular group // Letters in Mathematical Physics. — 1995. — Т. 34, вып. 3. — С. 249–254. — doi:10.1007/BF01872779. — . — arXiv:hep-th/9504111.
- Faddeev L. D., Kashaev R. M. Quantum dilogarithm // Modern Physics Letters A. — 1994. — Т. 9, вып. 5. — С. 427–434. — doi:10.1142/S0217732394000447. — . — arXiv:hep-th/9310070.
- Faddeev L. D., Volkov A. Yu. Abelian current algebra and the Virasoro algebra on the lattice // Physics Letters B. — 1993. — Т. 315, вып. 3–4. — С. 311–318. — doi:10.1016/0370-2693(93)91618-W. — . — arXiv:hep-th/9307048.
- Kirillov A. N. Dilogarithm identities // Progress of Theoretical Physics Supplement. — 1995. — Т. 118. — С. 61–142. — doi:10.1143/PTPS.118.61. — . — arXiv:hep-th/9408113.
- Schützenberger M. P. Une interprétation de certaines solutions de l'équation fonctionnelle: F (x + y)=F (x)F (y) // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris. — 1953. — Т. 236. — С. 352–353.
- Woronowicz S. L. Quantum exponential function // Reviews in Mathematical Physics. — 2000. — Т. 12, вып. 6. — С. 873–920. — doi:10.1142/S0129055X00000344. — .
Ссылки
[править | править код]- quantum dilogarithm Архивная копия от 7 марта 2016 на Wayback Machine на сайте nLab
![]() | На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. |
Для улучшения этой статьи желательно:
|