Константа Ландау — Рамануджана

В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.

Теорема о плотности сумм двух квадратов

Если $N(x)$ - число целых на отрезке $[1,\;x]$, которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то

$N(x)={\frac {Cx}{\sqrt {\ln(x)}}}(1+o(1)),$

где $C$ — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана:

$C=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0{,}764\;223\;653\;589\;220\;662\;990\;698\;731\;25.$

Точность приближения целого суммой двух квадратов

Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что при растущем $x$ средняя ошибка приближения целого числа из интервала от 1 до $x$ суммой двух квадратов целых чисел не менее ${\frac {\sqrt {\ln(x)}}{2C}}(1+o(1))$. Известная сегодня (2013) тривиальная оценка ошибки такого приближения сверху существенно больше — $O(x^{1/4})$. Со времен Эйлера существует гипотеза о том, что

$\min _{u,\;w\in \mathbb {Z} }|x-u^{2}-w^{2}|\leqslant x^{\varepsilon },$

где $\varepsilon >0,\;\varepsilon$ — любое, $x\geqslant x_{1}(\varepsilon )$.

Данная задача является обобщением проблемы Варинга.

Критерий возможности точного представления

Число $a$ представимо в виде $s^{2}+t^{2}=a$ ($s$ и $t$ - целые) тогда и только тогда, когда все простые числа вида $4k+3$ входят в каноническое разложение числа с чётной степенью.

Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Landau–Ramanujan Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A064533 в OEIS