Матрицы Кравчука

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Матрицы Кравчука — матрицы, элементами которых являются значения многочленов Кравчука в неотрицательных целых точках.[1][2]

 K_{ij}^{(n)} = \Sigma_{k} (-1)^{k} \binom {j}{k} \binom {n-j}{i-k} \!\,

Примеры нескольких первых матриц:

 
K^{(0)}=\begin{bmatrix}
                     1
               \end{bmatrix}
\qquad
K^{(1)}=\left [ \begin{array}{rr}
                  1&1\\
                  1&-1
\end{array}\right ] 
\qquad
K^{(2)}=\left [ \begin{array}{rrr}
                  1&1&1\\
                  2&0&-2\\
                  1&-1&1
\end{array}\right ] 
\qquad
K^{(3)}=\left [ \begin{array}{rrrr}
               1&1&1&1\\
               3&1&-1&-3\\
               3&-1&-1&3\\
               1&-1&1&-1
\end{array}\right ]



K^{(4)}=\left [ \begin{array}{rrrrr}
              1&1&1&1&1\\
              4&2&0&-2&-4\\
              6&0&-2&0&6\\
              4&-2&0&2&-4\\
              1&-1&1&-1&1
\end{array}\right ] 
\qquad
K^{(5)}=\left [ \begin{array}{rrrrrr}
                1&  1& 1& 1& 1& 1\\
                5&  3& 1&-1&-3&-5\\
               10&  2&-2&-2& 2& 10\\
               10& -2&-2& 2& 2&-10\\
                5& -3& 1& 1&-3&5\\
                1& -1& 1&-1& 1&-1
\end{array}\right ]



K^{(6)}=\left [ \begin{array}{rrrrrrr}
                1&  1& 1& 1& 1& 1&  1 \\
                6&  4& 2& 0&-2&-4& -6 \\
               15&  5&-1&-3&-1& 5& 15 \\
               20&  0&-4& 0& 4& 0&-20 \\
               15& -5&-1& 3&-1&-5& 15 \\
                6& -4& 2& 0&-2& 4& -6 \\
                1& -1& 1&-1& 1&-1&  1
\end{array}\right ].

В общем виде, для произвольного положительного n, элементы матрицы  K^{(n)}_{ij} могут быть вычислены при помощи функции

   (1+v)^{n-j}\,(1-v)^j=\sum_i v^i K^{(n)}_{ij}

где целые индексы i и j изменяются от 0 до n.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. N. Bose, “Digital Filters: Theory and Applications” [North-Holland Elsevier, N.Y., 1985] (англ.)
  2. P. Feinsilver, J. Kocik: Krawtchouk polynomials and Krawtchouk matrices, Recent advances in applied probability, Springer-Verlag, October, 2004 (англ.)

Ссылки[править | править вики-текст]