Метод Куайна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод Квайна — способ представления функции в ДНФ или КНФ с минимальным количеством членов и минимальным набором переменных.[1][2][3]
Преобразование функции можно разделить на два этапа:

  • на первом этапе осуществляется переход от канонической формы (СДНФ или СКНФ) к так называемой сокращённой форме;
  • на втором этапе — переход от сокращённой формы к минимальной форме.

Первый этап (получение сокращённой формы)[править | править код]

Представим, что заданная функция представлена в СДНФ. Для осуществления первого этапа преобразование проходит два действия:

  1. Операция склеивания;
  2. Операция поглощения.

Операция склеивания сводится к нахождению пар членов, соответствующих виду или , и преобразованию их в следующие выражения: . Результаты склеивания теперь играют роль дополнительных членов. Необходимо найти все возможные пары членов (каждый член с каждым).

Потом выполняется операция поглощения. Она основана на равенстве (член поглощает выражение ). Вследствие этого действия из логического выражения вычёркиваются все члены, поглощаемые другими переменными, результаты которых получены в операции склеивания.
Обе операции первого этапа могут выполняться до тех пор, пока это может быть осуществимо.
Применение этих операций продемонстрировано в таблице:

0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

СДНФ выглядит так:

Результат операции склеивания нужен для преобразования функции на втором этапе (поглощения)

Членами результата склеивания являются

Член поглощает те члены исходного выражения, которые содержат , то есть первый и четвёртый. Эти члены вычёркиваются. Член поглощает второй и третий, а член  — пятый член исходного выражения.

Повторение обеих операций приводит к следующему выражению:

Здесь склеивается пара членов и (склеивание пары членов и приводит к тому же результату), результат склеивания поглощает 2-, 3-, 4-, 5-й члены выражения. Дальнейшее проведение операций склеивания и поглощения оказывается невозможным, сокращённая форма выражения заданной функции (в данном случае она совпадает с минимальной формой)

Структурная схема функции

Члены сокращённой формы (в нашем случае это и ) называются простыми импликантами функции. В итоге, мы получили наиболее простое выражение, если сравнивать его с начальной версией — СДНФ. Структурная схема такого элемента показана на рисунке справа.

Второй этап (табличный) (получение минимальной формы)[править | править код]

Как и на первом этапе, в полученном равенстве могут содержаться члены, устранение которых никаким образом не повлияет на конечный результат. Следующий этап минимизации — удаление таких переменных. Таблица, представленная ниже, содержит значения истинности функции. По ней будет собрана следующая СДНФ.

0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1

СДНФ, собранная по этой таблице выглядит следующим образом:

Конечное выражение достигается за счёт повторного использования операций склеивания и поглощения:

Члены этого выражения являются простыми импликантами выражения. Переход от сокращённой формы к минимальной осуществляется с помощью импликантной матрицы.

Импликантная матрица[править | править код]

Члены СДНФ заданной функции вписываются в столбцы, а в строки — простые импликанты, то есть члены сокращённой формы. Отмечаются столбцы членов СДНФ, которые поглощаются отдельными простыми импликантами. В следующей таблице простая импликанта поглощает члены и (в первом и во втором столбцах поставлены крестики).

Простая импликанта  

Вторая импликанта поглощает первый и третий члены СДНФ (указано крестиками) и т. д. Импликанты, не подлежащие исключению, образуют ядро. Такие импликанты определяются по вышеуказанной матрице. Для каждой из них имеется хотя бы один столбец, перекрываемый только этой импликантой.

В нашем примере ядро составляют импликанты и (ими перекрываются второй и шестой столбцы). Исключение из сокращённой формы одновременно всех импликант, не входящих в ядро, невозможно, так как исключение одной из импликант может превратить другую в уже нелишний член.
Для получения минимальной формы достаточно выбрать из импликантов, не входящих в ядро, такое минимальное их число с минимальным количеством букв в каждом из этих импликант, которое обеспечит перекрытие всех столбцов, не перекрытых членами ядра. В рассматриваемом примере необходимо импликантами, не входящими в ядро, перекрыть третий и четвёртый столбцы матрицы. Это может быть достигнуто различными способами, но так как необходимо выбирать минимальное число импликант, то, очевидно, для перекрытия этих столбцов следует выбрать импликанту .

Минимальная дизъюнктивная нормальная форма (МДНФ) заданной функции:

Структурная схема, соответствующая выражению в МДНФ (второй этап) при минимизации функции методом Квайна
      (а)

Структурная схема, соответствующая этому выражению приведена на рисунке слева. Переход от сокращённой схемы к МДНФ был осуществлён путём исключения лишних членов — импликант и . Покажем допустимость подобного исключения членов из логического выражения.

Импликанты и становятся равными лог. 1 соответственно при следующих наборах значений аргументов: , , и , , .

Роль этих импликант в выражении сокращённой формы функции заключается лишь в том, чтобы на приведённых наборах значений аргументов присваивать функции значение 1. Однако при этих наборах функция равна 1 из-за остальных импликант выражения. Действительно, подставляя набор значений, указанных выше в формулу (а), получаем:

  • при , ,

;

  • при , ,

;

Использование метода для получения минимальной КНФ[править | править код]

Для получения Минимальной конъюнктивной нормальной формы (МКНФ), используя метод Куайна, вводятся следующие критерии:

  • для минимизации берётся не СДНФ, а СКНФ функции;
  • склеиваемые пары членов меняются на: или ;
  • правило операции поглощения выглядит следующим образом:

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]