Модель Сачдева — Йе — Китаева

В физике конденсированных сред и физике чёрных дыр, модель Сачдева — Йе — Китаева (SYK) — это точно решаемая модель, которую первоначально предложил Субир Сачдев и Джинву Йе, а затем модифицировал в общепринятую в настоящее время форму Алексей Китаев. Считается, что эта модель помогает понять суть сильно коррелированных материалов, а также имеет тесную связь с дискретной моделью AdS/CFT и фермионным кодом. Модель поддаётся цифровому квантовому моделированию с новаторскими экспериментами, реализованными в установке ЯМР.

Модель SYK

Пусть $n$ — целое число и $m$ — чётное число такие, что $2\leq m\leq n$, рассмотрим набор майорановских фермионов $\psi _{i_{1}},\cdots ,\psi _{i_{n}}$ которые являются фермионными операторами, которые удовлетворяют условиям: (1) эрмитовы $\psi _{i}^{\dagger }=\psi _{i}$; (2) cоотношение Клиффорда $\{\psi _{i},\psi _{j}\}=2\delta _{ij}$. Выберем случайную величину $J_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}$ такую, что ожидание удовлетворяет: (1) $\mathbf {E} (J_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}})=0$; и (2) $\mathbf {E} (J_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{2})=1$, тогда модель SYK определяется как

$H_{SYK}=i^{m/2}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{m}\leq n}J_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}\psi _{i_{1}}\psi _{i_{2}}\cdots \psi _{i_{m}}$.

Обратите внимание, что иногда добавляется дополнительный коэффициент нормализации.

Самая известная модель — это когда $m=4$, тогда модель принимает вид

$H_{SYK}=-{\frac {1}{4!}}\sum _{i_{1}\ldots i_{4}\in \{1,N\}}J_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}\psi _{i_{1}}\psi _{i_{2}}\psi _{i_{3}}\psi _{i_{4}}$,

обратите внимание, что здесь фактор $1/4!$ добавляется для совпадения с обычно используемой формой.