Неравенство Фишера

Неравенство Фишера — это необходимое условие существования сбалансированной неполной блок-схемы, то есть системы подмножеств, которые удовлетворяют определённым предписанным условиям в комбинаторной математике. Неравенство описал Рональд Фишер, специалист по популяционной генетике и статистике, который изучал планирование эксперимента, изучая различия среди некоторых отличающихся разновидностей растений при различных условиях произрастания, называемых блоками.

Пусть:

• $v$ будет числом разновидностей растений;
• $b$ будет числом блоков.

Чтобы быть сбалансированной неполной блок-схемой, необходимо, чтобы:

• $k$ различных разновидностей в каждом блоке, $1\leqslant k<v$, никакая разновидность не встречается дважды в блоке
• любые две разновидности встречаются вместе ровно в $\lambda$ блоках
• каждая разновидность встречается ровно в $r$ блоках.

Неравенство Фишера утверждает, что

$b\geqslant v$.

Доказательство

Пусть матрица смежности $\mathbf {M}$ является $v\times b$ матрицей, определённой так, что $\mathbf {M} _{i,j}$ равен 1, если элемент $i$ содержится в блоке $j$, и 0 в противном случае. Тогда $\mathbf {B} =\mathbf {MM} ^{T}$ является $v\times v$ матрицей, такой, что $\mathbf {B} _{i,i}=r$ и $\mathbf {B} _{i,j}=\lambda$ для $i\neq j$. Поскольку $r\neq \lambda ,det(\mathbf {B} )\neq 0$, так что $rank(\mathbf {B} )=v$. С другой стороны, $rank(\mathbf {B} )\leqslant rank(\mathbf {M} )\leqslant b$, так что $v\leqslant b$.

Обобщение

Неравенство Фишера верно для более общих классов блок-схем. Попарно сбалансированная схема (ПСС, англ. pairwise balanced design, PBD) — это множество $X$ вместе с семейством непустых подмножеств $X$ (которые не обязательно должны быть одного размера и могут содержать повторения), такое, что любая пара различных элементов $X$ содержится точности в $\lambda$ (положительное целое число) подмножествах. Множеству $X$ разрешено быть одним из подмножеств и, если все подмножества являются копиями $X$, ПСС называется «тривиальной». Пусть размер множества $X$ равно $v$, а число подмножества в семействе (учитывая кратность) равно $b$.

Теорема: Для любой нетривиальной ПСС $v\leqslant b$.

Этот результат обобщает теорему де Брёйна — Эрдёша:

Для ПСС с $\lambda =1$, не имеющей блоков размера 1 или размера $v,v\leqslant b$, с равенством тогда и только тогда, когда ПСС является проективной плоскостью или почти пучком (что означает, что в точности $n-1$ точек коллинеарны).

В другом направлении, в 1975 году Рэй Чадхури и Вильсон доказали, что в схеме $2s-(v,k,\lambda )$ число блоков не меньше ${\binom {v}{s}}$.