Обсуждение:Аксиоматика вещественных чисел

Список аксиом неполон. Не хватает, например, аксиомы Архимеда. — Эта реплика добавлена с IP 81.26.151.146 (о)

Аксиома Архимеда выводится из этих аксиом, и, вместе с принципом полноты Кантора, эквивалентна аксиоме полноты(непрерывности). Так что список аксиом полный. July13 17:26, 15 октября 2007 (UTC)

Может быть, это стоит написать в статье? ПБХ 17:45, 15 октября 2007 (UTC)

а не нужно ли добавить, что R должно включать хотябы один элемент кроме 0? а то так под определение подходит множество {0} с естественно определенными операциями: 0+0=0, 0*0=0, 0<=0 тогда 1=0 и все аксиомы выполняются Anton0xf 09:08, 7 мая 2008 (UTC)

Проблема была в неточно переписанном с источника п.3 раздела "Аксиомы умножения" ($1\in \mathbb {R}$ вместо $1\in \mathbb {R} \backslash \{0\}$) anton0xf 20:46, 22 августа 2009 (UTC)

Полезные высказывания

$~\exists x\exists y\ (x\neq y\ \land \ x\in \mathbb {R} \ \land \ y\in \mathbb {R} )$

$~\forall x(x\in \mathbb {R} \to x\leq x)$

${\begin{aligned}\forall x\forall y\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ y\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ \lor \ y\leq x)\quad \land \quad (x\leq y\ \land \ y\leq x\to x=y)\\\ \land \quad x+y\in \mathbb {R} \ \land \ x+y=y+x\ \quad \land \quad x\cdot y\in \mathbb {R} \ \land \ x\cdot y=y\cdot x)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ y\in \mathbb {R} \ \land \ z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ \land \ y\leq z\to x\leq z)\ \land \ (x\leq y\to x+z\leq y+z)\\\ (x+y)+z=x+(y+z)\ \land \ (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)\ \land \ (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\exists x_{0}\ \ (x_{0}\in \mathbb {R} \qquad \land \qquad \forall y\ (y\in \mathbb {R} \to x_{0}+y=y\quad \land \quad \exists z\ (z\in \mathbb {R} \ \land \ y+z=x_{0})\ )\qquad \land \\\ \forall x\forall y\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ y\in \mathbb {R} \to (x_{0}\leq x\ \land \ x_{0}\leq y\to x_{0}\leq x\cdot y))\qquad \land \\\ \exists x_{1}\ (x_{1}\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}\ \land \ \forall y\ (y\in \mathbb {R} \to x_{1}\cdot y=y\ \land \ (y\neq x_{0}\to \exists z\ (z\in \mathbb {R} \ \land \ y\cdot z=x_{1})))))\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\forall X\forall Y\ (X\neq \varnothing \ \land \ Y\neq \varnothing \ \land \ X\subset \mathbb {R} \ \land \ Y\subset \mathbb {R} \ \land \ \forall x\forall y\ (x\in X\ \land \ y\in Y\to x\leq y)\\\ \to \exists z\ (z\in \mathbb {R} \ \land \ \forall x\forall y\ (x\in X\ \land \ y\in Y\to x\leq z\leq y))\ )\end{aligned}}$

--Галактион 10:28, 8 февраля 2009 (UTC)