Обсуждение:Дифференциал (математика)

О малое

Mousy, я согласен. Функция $o(\Delta x)$ может принимать и отрицательные значения. Может стоит все таки пояснить что она делает? Кирилл

О малое — это не функция, а класс эквивалентности функций. Положительность-отрицательность значений к вопросу отношения не имеет. --Мышонок 02:21, 27 февраля 2009 (UTC)

Дифференциал и производная

D.Jurin, Вы смешиваете дифференциал и производную. я откатываю.--Тоша 12:23, 22 августа 2007 (UTC)

—

Антон Михайлович, понятие дифференциала и производной самым теснейшим образом связанны, но тем не менее понятия это различные, и в своей добавке к этой стать я их вовсе не смешиваю. В имевшемся варианте статьи было дано алгебраическое определение дифференциала, на языке теории множеств. Такое объяснение дифференциала трудно назвать простым и наглядным. Тем более оно не объясняет сути понятия дифференциал, а показывает математическую непротиворечивость его формальной записи. Но конечно, как и любое верное определение оно имеет право на существование, например геометрическое, поэтому я его и оставил в конце статьи. В начале же статьи я дал именно геометрическую интерпретацию этого понятия, опираясь на директиву двигаться от простого к сложному. Хочу обратить Ваше внимание, что изложенное мной определение находится в полном соответствии со следующими источниками:

1. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Том I. стр. 306;

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Пункт 4.5-3. (стр. 106);

3. Фихтенгольц Г. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I.§ 2. Дифференциал (стр.: 211-220, Формула Лагранжа 226 -228, 228 NB)

Так что я ничего не смешиваю, а описываю дифференциал более понятно и широко. Поэтому возвращаю свои изменения.

PS. Кстати, Вы откатили текст, понятно - дело обсуждаемое, но зачем же Вы откатили мою иллюстрацию. Ведь она подробней, сделана более аккуратно, тем более в SVG, в общем лучше? Д.Юрин

Проблема в том что после Вашей редакции статья стала хуже, она и до этого была не правильной, а сейчас совсем плохо. Придётся мне её переписывать. кстати по поводу аналитических книг, в них часто даётся урезанное определение, так чтоб только объяснить как работать со значком под интегралом, но не объясняется что есть дифференциал на самом деле...--Тоша 18:35, 25 августа 2007 (UTC)

Антон Михайлович, Вы издеваетесь? 9 из 10 человек не поймут вашего определения, точнее описания дифференциала. Для того чтобы его понять надо быть специалистом в математике, а специалист в математике и так знает что такое дифференциал, тогда на кого рассчитана Ваша статья? какие цели она преследует?

Кроме того Вы не определяет, что такое дифференциал, а описываете его, причем делает это на сложном, мало доступным языке. Все равно, если бы Вас спросил русскоговорящий человек, что такое автомобиль, а вы ему бы стали описывать на китайском сколько у автомобиля колес, какого он бывает цвета, какой двигатель и т.п. Я пытаюсь написать по-русски, что это «средство передвижения», объяснить суть.

Иллюстрация - фундаментальная, наглядная, прожившая уже не одно столетие, зачем вы ее удалили???

Потом, почему Вы удаляете все, что написано не Вами? Почему не оставляете мою статью как альтернативу? Ведь там ничего не противоречит истине? Почерпнуто у самого Клейна!

В общем, если вы не дополните статью хотя бы частично, мной сформированным определением, я сделаю это сам. А если Вы опять без каких либо объяснений, веских доводов, как предыдущие два раза удалите мое дополнение, то я снова его добавлю, и буду делать это снова и снова, пока Вам не надоест. Д.Юрин

Не нужно меня пугать, одно дело делаем (хотя по-разному).

1. Я не против «простых» объяснений если они правильные, то что написано здесь совсем не правильно.
   1. Картинка совсем ничего не объясняет, только сбивет, что такое по вашему x+dx? что это число? форма или ещё что?
   2. «Точное определение» --- просто неверное.
   3. Геометрический смысл что значит равна dx? опять такое впечатление что Вы думаете что это число?

По-моему придётся это откатить. --Тоша 23:23, 30 августа 2007 (UTC)

Под dx я понимаю бесконечно малую величину. Под x+dx - виличину отличающаяся от x на бесконечно малую. А равно dx - значит равно бесконечно малой. Что до ваших впечатлений Тоша, то это только ваши впечатления, и при чем тут я и читатели Википедии? Если у вас возникнут еще вопросы, я с удовольствием на них отвечу.

А пока придётся это откатить. --Д.Юрин

• dx --- это дифференциал функции f(x)=x, а вовсе не бесконечно малая величина. ещё раз я не против если проще, но должно быть правильно.--Тоша 13:30, 3 сентября 2007 (UTC)

• dx --- это дифференциал функции f(x)=x, а вовсе не бесконечно малая величина - ??? Значение dx, как диффернциала функции f(x)=x всегда одно и то же, на всей облости определения этой функции и равно приращению аргумента этой функции. А поскольку, приращение при определении дифференцмала берется бесконечно малым, то и значение приращения функции будет бесконечным малым. А в данной функции приращение равно дифференциалу. Вывод любое значение dx - бесконечно малая величина. Вообщем возвращайте мое геометрическое определение.

Ерунда какая-то, почему это «приращение при определении дифференцмала берется бесконечно малым» ? Вовсе нет! --Тоша 11:20, 11 сентября 2007 (UTC)

Действительно ерунда, какая-то, если приращение аргумента при определении дифференциала не будет бесконечно малым, Вы получите не дифференциал функции, а линейную часть ее приращения. Возьмите синусоиду, возьмите приращение равным 2, попробуйте найти линейную часть ее приращения и какое отношение будет иметь полученный вами результат к дифференциалу?

В общем, вот Вам серьезнейшие источники:

Файл:Fihtengoltz differential.png

Фихтингольц

Файл:Klein differential.png

Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей

Файл:Korn differential.png

Корн. Справочник по высшей математики

Верните текст. --Д.Юрин

PS. Интересно, что Вы на этот раз придумаете?

Я понял что Вы серьёзно.

1. Фихтенглоьц --- При определении $A$ в выражении $A\Delta x$ использовалось то что $\Delta x$ --- бесконечно малая. НО потом говорится что «выражение» $A\Delta x$ есть дифференциал и не утверждается что $\Delta x$ или $A\Delta x$ есть бесконечно малая. Здесь имеем типичную для учебников матанализа картину; дифференциал требуется в урезанном виде, и соответственно недоопределяется.
2. Клейн --- Скорее историческое замечание о происхождении символа $dx$, к стати вполне правомерно что-то такое включить в раздел истории.
3. На удивление хороший справочник, всё верно. Но никаких бесконечно малых, никак не противоречит моим замечаниям изложнным ранее.

Попробуйте найти приличную книгу по дифференциальной геометрии и посмотрите что там. --Тоша 15:35, 1 октября 2007 (UTC)

Д.Юрин Я тут подумал, вот я доказываю вам, доказываю, факты привожу, цитаты, источники, а я ведь ничего не придумывал, а просто пересказываю своими словами, то что в книжках давным-давно написано. Вот вы утверждаете что dx - не обязательно величина бесконечна малая, что мое определение не верно, вот и докажите это, приведите источники, цитаты…

Возвращаю.

Упорный Вы человек, ладно перепишу чтобы хоть немоного на правду было похоже. Только картинку уберу, там совсем бред какой-то--Тоша 18:19, 4 октября 2007 (UTC)

Д. Юрин, чтобы определить понятие "бесконечно малая" точно, нужно так или иначе выйти за пределы обычной математики. — Kallikanzarid_talk 07:32, 30 сентября 2011 (UTC)

Шрифт в формулах

Насколько я знаю, то букву d принято писать прямым шрифтом, вот так: $\mathrm {d} f$ (или картинкой $\mathrm {d} f\,$). Сейчас написано: $df$ (картинка: $df\,$). Существенно или нет такое изменение? Стоит вносить правку? gribozavr 01:13, 16 января 2008 (UTC)

По-моему жёсткого соглашения нет. Хотя действительно многие пишут $\mathrm {d} f\,$ и это имеет смысл (т.е. d воспринимается как оператор, а не как переменная).

Исторический очерк

Мне кажется этот исторический очерк будет более естественно смотреться в математическом анализе... --Тоша 08:38, 24 февраля 2008 (UTC)

Я исходил из следующих соображений.

• Споры об основаниях матанализа, о которых я писал, касались не самого исчисления, которое доказало свою эффективность, а именно понимания смысла дифференциалов и бесконечно малых. Мне кажется, аргументы спорщиков и вся эта дискуссия могут быть интересны читателям Википедии.
• В статье об анализе уже есть довольно обширный исторический очерк конструктивного направления.

Другие варианты: перенести очерк в статью "Бесконечно малая величина", или создать новую статью "Обоснование анализа" (вариант: История анализа). Как Ваше мнение? LGB 09:02, 24 февраля 2008 (UTC)

По-моему "Бесконечно малая величина" --- самое лучшее место --Тоша 23:07, 24 февраля 2008 (UTC)

Перенёс. LGB 07:50, 25 февраля 2008 (UTC)

инвариантность

Я убрал из статьи следующее:

• Дифференциал обладает инвариантностью, то есть его вид не изменяется при замене исходной переменной дифференцирования на другую. Рассмотрим две дифференцируемые функции $y=f(x)$ и $x=\varphi (t)$. Их суперпозиция имеет вид $y=f[x(t)]$. Если считать независимой переменную $x$, то дифференциал $dy$ будет равен:

$dy=y'_{x}\,dx.$

Делая теперь независимой переменную $t$, по формуле дифференцирования композиции функций получаем:

$dy=y'_{x}x'_{t}\,dt,$

но $x'_{t}\,dt=dx$ — дифференциал $x$ как функции от $t$. И мы снова получаем исходное выражение. В этом и заключается инвариантность формы дифференциала.

Причина: это не свойство, просто тривиальность из определения --- оно только запутывает людей. --Тоша 20:51, 27 июля 2009 (UTC)

• Ну вообще-то инвариантность не следует непосредственно из определения дифференциала, а только если привлекать понятие дифференциала композиции функций. Описание инвариантности формы дифференциала можно найти в любом курсе математического анализа, в частности я как источник использовал Фихтенгольца. — KleverI 05:13, 28 июля 2009 (UTC)

Фихтенгольц написал очень хорошую книжку, но понятие дифференциала там не вполне полноценное --- ему нужен только кусочек. И «инвариантость» встроена в тот подход, который изложен здесь.--Тоша 10:08, 28 июля 2009 (UTC)

Два определения дифференциала

В статье написано определение для функций и для отображений. Учитывая, что функция и отображение есть одно и то же, выглядит глупо. 178.121.184.234 19:22, 6 апреля 2011 (UTC)

• Подправил. --Тоша 00:41, 7 апреля 2011 (UTC)
  • А почему сейчас там два определения? Мне кажется лучше просто там написать "Дифференциал функции нескольких переменных". Mikhail Govgolenko (обс.) 15:18, 7 апреля 2024 (UTC)

Дифференциал функции из Rn в Rm

ИМХО, совершенно необходимо описать это простое построение прежде, чем переходить к обобщению на многообразия, а начать лучше вообще с функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. — Kallikanzarid_talk 09:57, 30 сентября 2011 (UTC)

Чуть было не написал, но это уже расписано в примерах. --Тоша 02:44, 1 октября 2011 (UTC)

Беда в том, что у Вас ничего и никогда не расписывается, а только номинально присутствует на странице. Вы даже определение дифференциала умудрились «засунуть» между строк: его попросту нет в статье! Это всё делает статью… совершенно пустой. К сожалению. --OZH 19:28, 1 октября 2011 (UTC)

Я не понимаю, что значит «между строк», что значит «нет в статье»? По-моему не нужно дублировать информацию тем более в одной статье. --Тоша 23:55, 1 октября 2011 (UTC)

А я пока не очень понимаю, почему статья до сих пор не приведена в порядок. Почему наиболее важные для читателя вещи записаны в примеры, а само определение дифференциала даётся через расслоения и формы, а попытка дать определение в преамбуле приводит к довольно корявой формулировке — и это всё вместо того, чтобы дать чёткое представление о предмете статьи? Вы (почему-то) озабочены неким дублированием, в то время как Вам следовало бы озаботиться существом дела. Между тем, статью всё-равно придётся привести в соответствие с основными требованиями к энциклопедической статье — удобочитаемостью, связностью и проверяемостью. С надеждой на понимание, OZH 19:57, 9 октября 2011 (UTC)

На мой взгляд статья в порядке. Из того, что вы пишете не ясно что вам конкретно в ней не нравится. --Тоша 00:49, 10 октября 2011 (UTC)

Очень жаль, что Вы не замечаете три конкретные претензии, и вместо исправления статьи, Вы погружаете её в какое-то «сумеречное» состояние. А нужно-то, всего лишь, ясно изложить, что же такое дифференциал, как он возникает, почему выбраны такие обозначения и как мы приходим к наиболее общему определению дифференциала, как отображения касательных пространств. В этом плане, в учебнике и в энциклопедии будет написано одно и тоже: каков предмет — таково и описание, не больше и не меньше. Читателю не нужно всё-всё-всё (и это, и то, чего у Вас в избытке), ему нужно малая толика объяснений и несколько чётких и строгих формулировок. Лично у меня есть план минимальной статьи о дифференциале (и некоторые мысли о том, как наиболее полно изложить в Википедии все вопросы, связанные с дифференцированием; да и о дифференциальной топологии и о дифференциальной алгебре тоже забывать не стоит). Всегда помните о том, что статья в Википедии — это выжимка наиболее важных положений (определений, теорем, конструкций и фрагментов соответствующих теорий), связанных с предметом статьи. Если читатель по прочтении статьи не получает ни точного определения, ни представления о том, как вводится и используется данный математический объект, то такая статья — наша общая неудача. Зачем же плодить в Википедии неудачи? Лучший способ действования — избегать их. А ещё лучше — сразу писать как следует. Тогда ни о кого не будет никаких вопросов или острого желания переписать статью с превеликой опасностью наткнуться на конфликт. Надо, просто, взять и написать. --OZH 18:45, 11 октября 2011 (UTC)

Определения

Как понять? Тогда что дано в преамбуле? Не определение? Fractaler 15:31, 11 октября 2011 (UTC)

Смотрим:

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения.

Пока ничего. Если не считать, что надо обязательно говорить о том, что дифференциал всегда определяется в некоторой точке. И это нужно сообщить сразу же в первом предложении.

• Вы не правы, в преамбуле допустимо не давать чётких определений. --Тоша 00:01, 12 октября 2011 (UTC)

Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Ни в одной статье (ни в данной, ни в статье про производную по направлению) этот вопрос не раскрывается. Для этого надо приводить соответствующие теоремы, чего, вообще, нигде не сделано. Это нельзя вот так дать, на уровне простой декларации.

Грубо говоря,

«Хороший» стиль изложения!

• Ну могли бы и сами подправить --- заменил Грубо говоря на «интуитвно». Раницы мало.--Тоша 00:01, 12 октября 2011 (UTC)

дифференциал функции $f$ в точке $x$ может пониматься

Уже в точке!

как линейная функция от новой переменной $\Delta x$(обозначаемая обычно $d_{x}f(\Delta x)$)

Неожиданная «новая» переменная! Нет, уж: если не можем в преамбуле, то уж лучше в основном тексте статьи. Как раньше и было. Хотя и раньше было как-то не очень понятно написано.

• По-моему, эта фраза справляется с задачей дать приблизительное представление о предмете. Как я уже говорил преамбула не обязана содержать точных определений. Но в принципе можно обойтись и без неё, это для меня не принципиально.

которая наилучшим образом приближает приращение

$f(x+\Delta x)-f(x)$

при малых $\Delta x$.

Нельзя приблизить приращение!

• Что значит нелзя?Тоша 00:01, 12 октября 2011 (UTC)

Вот что рождает желание как можно большее изложить наименьшим количеством слов. Между тем, при описании математических объектов «лишних» слов не бывает. --OZH 19:00, 11 октября 2011 (UTC)

• OZH, если знаете как улучшить --- улучшайте (хотя обычно у Вас не получается) --Тоша 00:01, 12 октября 2011 (UTC)
  • Обычно, Вы занимаетесь молчаливыми откатами, а потом (пост фактум) говорите, что «стало хуже», не объясняя, в чем же заключается ухудшение. --OZH 12:06, 12 октября 2011 (UTC)
    • OZH, страница обсуждения статьи преднозначена для обсуждения статьи --- претензии к участникам лучше предъявлять на их странице обсуждения. --Тоша 19:34, 12 октября 2011 (UTC)
• Новые правки, хотя, кое-что и добавляют к энциклопедичности, но, увы, не сильно приближают статью к тому, что надо. --OZH 12:09, 3 ноября 2011 (UTC)
  • Мой хрустальный шар сломался — Kallikanzarid_talk 13:32, 4 ноября 2011 (UTC)

Итог

Печальный. Так и не получилось энциклопедической статьи о дифференциале. :( --OZH 19:22, 5 января 2012 (UTC)

Было бы здорово, если бы вы объяснили, что именно в ней не так, а не ограничивались лишь качественной оценкой. — Kallikanzarid_talk 07:33, 12 января 2012 (UTC)

• Боюсь, что единственный способ решить вопрос — это полностью написать совершенно новую статью по данной теме. Но это всё — при условии, что вместо сухих перечней фактов (как это предлагает всё время Тоша), нужны развёрнутые описания и чёткие объяснения всех значимых взаимосвязей (то есть, то, что и есть, собственно, энциклопедическое содержание). --OZH 11:17, 24 февраля 2012 (UTC)

Начал переписывать

Переписал первые два раздела по вузовскому учебнику (НГУ). Попытался сделать по возможности инвариантно по отношению к функциям одной/многих переменных (и дифгему :-) — именно этим и вызван выбор учебника. Возможно, нужно специально для не-математиков отдельно подробнее описать частный случай функций одной переменной со значениями в R (добавить пример?). Викидим 22:15, 20 мая 2012 (UTC)

• Остальные разделы представлят собой прежний текст. Викидим 22:17, 20 мая 2012 (UTC)

• Вроде бы введение сейчас покрывает раздел "Определения". Может, его вообще удалить? Викидим 05:43, 21 мая 2012 (UTC)

• • Викидим, один совет: старайтесь не переписывать а потихоньку изменять и дописывать (опыт показывает, что так оно лучше получается).--Тоша 19:57, 24 июля 2012 (UTC)

• Сейчас в статье нет никаких источников. Давайте сначала договоримся о каком-нибудь учебнике, как основе. Викидим 01:11, 25 июля 2012 (UTC)

• • Если Вам нравится какой-то учебник добавьте его в список литературы. Но писать на основе одного учебника не следует. --Тоша 21:35, 25 июля 2012 (UTC)

• Уважаемый участник Тоша! (1) добавьте его в список литературы — список литературы-то Вы откатили :-), его больше нет. (2) Мне в общем-то всё равно, что взять за основу, хотя какой-то источник должен быть указан, и изложение должно быть по какому-то учебнику или учебникам. (3) Я пока обсуждаю здесь, а не добавляю текст в статью. Дело в том, что мои предыдущие правки Вы откатили без каких-либо объяснений; я хочу впредь избежать бесполезной работы по набору текста и потому пытаюсь у Вас выяснить, относился ли Ваш откат к неудачному, с Вашей точки зрения, выбору источника, или только к одной-единственной фразе, упомянутой в реплике, или ещё к чему-то в тексте моих правок. Исследовать же Вашу позицию предлагаемым Вами методом проб и ошибок (вносить изменения, а затем смотреть, откачены ли они — а ведь в данном случае откат произошёл через два месяца после моих правок!) у меня нет ни времени, ни желания. С уважением, Викидим 01:11, 26 июля 2012 (UTC)

• • Я уже говорил, Ваша правка содержала неверную информацию. Если она взята из «источника» значит источник неороший и не нужно его цитировать, если нет то претензий к нему у меня нет. Главное: не нужно «переписывать» нужно дополнять и уточнять --- так оно всегда лучше. --Тоша 20:23, 26 июля 2012 (UTC)
    • Вы прекрасно знаете, что это не так. Спрашивается, что это за статья, в которой можно прочитать, что «Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной»?! Что это за «прямые» и «непрямые» определения? В математике есть только одно определение дифференциала, которое раскрывает понятие линейного приращения функции. Взаимосвязь между дифференциалом и производной должна быть одной из тем данной статьи. Но если откатывать любую попытку добавить в статью хоть какую-то энциклопедическую информацию, при отсутствии оной в текущей версии статьи, то данная статья никогда не станет такой, чтобы её не надо было поминать всуе, как пример свалки неких предложений. Посмотрите на то, как сделаны статьи в других разделах. Хоть что-то объяснено. Вы же категорически отказываетесь что-либо объяснять читателю, да ещё и откатываете попытки других участников эту самую энциклопедически ценную (ради чего всё) информацию добавить, что уже выглядит как ВП:ДЕСТ. Зачем же откатывать, если обоснования привести невозможно? --OZH 17:14, 4 августа 2012 (UTC)

• Участник Тоша здесь прав: дифференциал, конечно же, можно определить без понятия производной. См. случай многих переменных, когда производной нет, а дифференциал есть. Многие стандартные учебники излагают дифференциал, не привлекая производной. Викидим 17:44, 4 августа 2012 (UTC)
  • Вот и требуется дать одно-единственное определение и дать разъяснения, какая здесь возникает связь с производной (в одномерном случае). А этого-то, Тоша, как раз, и не делает. В чём же прав Тоша? --OZH 18:30, 4 августа 2012 (UTC)

• Простите, не понял, что мы — за одно и то же. Я уже такое определение давал — со ссылкой на конкретный учебник. Если Вы не возражаете, давайте его обратно попробуем вставить (посмотрите мою правку)? Тоша возражал мне по другому поводу, хоть и откатил всё скопом :-) Викидим 18:42, 4 августа 2012 (UTC)

• Моё предыдущее замечание не относится к предмету дискуссии: утверждению о том, что современное понятие дифференциала никакого отношения к значку dx в формуле интеграла не имеет. Это утверждение содержится опять-таки во многих учебниках по анализу. Мне пока было лень собирать эту информацию, но со временем просмотрю литературу. Викидим 17:47, 4 августа 2012 (UTC)

• Это утверждение неверное; если есть какие-то учебники которые так говорят, то лучше их выбросить :) Под интегралом должна стоять форма, а fdx это как раз форма.--Тоша 18:55, 4 августа 2012 (UTC)

• Уважаемый Тоша! Я не буду спорить с утверждением о качестве таких учебников, предположив, что Вам виднее. Однако, чтобы показать, что я не пытаюсь ввести Вас в заблуждение, утверждая, что такое мнение распространено, вот навскидку первая же ссылка: [1]. Так что «если» в Вашем утверждении можно смело убрать. Викидим 19:05, 4 августа 2012 (UTC)

:(

Че-то я так и не понял, что же такое дифференциал 109.227.238.14 15:40, 2 апреля 2013 (UTC) Life

По сути, я бы тоже сказал, что данная статья не ориентирована на понимание дифференциала простыми понятиями. Просто льют воду и все.

Стиль

А можно везде «h» на «∆x» заменить? Приращение аргумента же
— MomKy (обс.) 12:55, 21 июня 2022 (UTC)

Не сто́ит, ∆x это слэнговое обозначение (оно больше путает, хотя при устном повествовании бывает полезным) ⰕⰑⰞⰀ·Ⱁⰱⱄ 16:22, 21 июня 2022 (UTC)